2007-四川卷文-12 单-三平行线正三角形边长

本题导读

本题考查平行线间的距离，以及解三角形与方程思想。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(文)） 如图，$l_1$、$l_2$、$l_3$ 是同一平面内的三条平行直线，$l_1$ 与 $l_2$ 间的距离是 1，$l_2$ 与 $l_3$ 间的距离是 2，正三角形 $ABC$ 的三顶点分别在 $l_1$、$l_2$、$l_3$ 上，则 $△ABC$ 的边长是 ()

A. $2\sqrt{3}$　　　　　　B. $\frac{4\sqrt{6}}{3}$　　　　　　C. $\frac{3-\sqrt{7}}{4}$　　　　　　D. $\frac{2-\sqrt{21}}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 以 $l_2$ 为 $x$ 轴建系，三线为 $y=1$，$y=0$，$y=-2$；设 $A(x_A,1)$，$B(x_B,0)$，$C(x_C,-2)$，记 $u=x_A-x_B$，$v=x_B-x_C$。
2. 三边平方：$A{B}^2=u^2+1$，$B{C}^2=v^2+4$，$A{C}^2=(u+v{)}^2+9$，三者相等记为 $s^2$。
3. 由 $u^2+1=v^2+4$ 得 $u^2-v^2=3$；由 $v^2+4=(u+v{)}^2+9$ 得 $2uv+v^2+8=0$。
4. 由 $u^2=v^2+3$ 与 $(2uv{)}^2=(v^2+8{)}^2$ 消元：$4v^2(v^2+3)=(v^2+8{)}^2$，令 $z=v^2$ 得 $3z^2-4z-64=0$，$z=\frac{16}{3}$（负根舍去）。
5. $s^2=z+4=\frac{28}{3}$，$s=\frac{2\sqrt{21}}{3}$。

✅【答案】

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$\frac{2\sqrt{21}}{3}$（选 D）

✍【详细解析】

Abstract

取三条平行线分别为 $y=1$，$y=0$，$y=-2$，设 $A=(x_A,1)$，$B=(x_B,0)$，$C=(x_C,-2)$，记 $u=x_A-x_B$，$v=x_B-x_C$，正三角形边长为 $s$，则 $s^2=u^2+1=v^2+4=(u+v{)}^2+9$． 由 $u^2+1=v^2+4$ 得 $u^2-v^2=3$；由 $v^2+4=(u+v{)}^2+9$ 得 $2uv+v^2+8=0$． 由 $u^2=v^2+3$ 与 $2uv=-(v^2+8)$，两边平方消去 $u$： $4u^2{v}^2=(v^2+8{)}^2$，即 $4v^2(v^2+3)=(v^2+8{)}^2$， 展开整理得 $3v^4-4v^2-64=0$．令 $z=v^2⩾0$，则 $3z^2-4z-64=0$，解得 $z=\frac{16}{3}$（负根舍去）． 此时可取 $u=\frac{5}{\sqrt{3}}$，$v=-\frac{4}{\sqrt{3}}$，满足 $2uv+v^2+8=0$，故平方消元未引入不合条件的解． 于是 $s^2=v^2+4=\frac{16}{3}+4=\frac{28}{3}$，$s=\sqrt{\frac{28}{3}}=\frac{2\sqrt{21}}{3}$． 【注】按题面条件计算，边长为 $\frac{2\sqrt{21}}{3}$；原卷 D 项印作 $\frac{2-\sqrt{21}}{3}$，与期刊版 $\frac{2\sqrt{21}}{3}$ 对照，系将 $\frac{2\sqrt{21}}{3}$ 误排为 $\frac{2-\sqrt{21}}{3}$，四个选项中 D 与正确值对应，故按 D 项录入并更正数值．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三平行线正三角形边长

核心方法：设 $u=x_A-x_B$，$v=x_B-x_C$，$s^2=u^2+1=v^2+4=(u+v{)}^2+9$，解得 $s=\frac{2\sqrt{21}}{3}$

避坑指南：平方消元后要回代检验（取 $u=\frac{5}{\sqrt{3}}$，$v=-\frac{4}{\sqrt{3}}$ 可行）；原卷 D 项 $\frac{2-\sqrt{21}}{3}$ 为排印错误，正确值为 $\frac{2\sqrt{21}}{3}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三条平行线夹正三角形是 2007 年四川卷压轴选择，与理科 12 题同源不同数

结论推广：推广：间距 $d_1$、$d_2$ 的三条平行线夹正三角形，边长 $s$ 满足 $s^2=u^2+d_1^2=v^2+d_2^2=(u+v{)}^2+(d_1+d_2{)}^2$

方法推广：几何最值/定值小题建系设坐标，把几何条件翻译为方程组，平方消元后必须回代检验

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练(Links)

• 2008-新课标卷文-17 解-解三角形综合
• 2008-上海卷文-17 解-扇形小区余弦定理
• 2014-四川卷文-08 单-俯角解三角形
• 2009-大纲卷II文-18 解-解三角形求角