2007-四川卷理-03 单-因式分解有理分式约分

本题导读

本题考查代数有理分式在定点处的极限求解。通过对分子与分母进行因式分解，消除导致产生 $\frac{0}{0}$ 型未定式的零因子，从而转化为直接代入求值。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(理)） ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}=$()

A. 0　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 识别未定式：直接将 $x=1$ 代入分子分母，发现结果均为 0，属于 $\frac{0}{0}$ 型极限。

2. 因式分解约分：对分子应用平方差公式，对分母应用十字相乘法，消去共同的零因子 $(x-1)$ 后直接求极限。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

对分子、分母分别进行因式分解：

• 分子：$x^2-1=(x-1)(x+1)$

• 分母：$2x^2-x-1=(x-1)(2x+1)$ 将分解后的因式代入极限表达式中： ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}={\lim }_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(2x+1)}$ 当 $x\to 1$ 但 $x\ne 1$ 时，零因子 $x-1\ne 0$，可以直接约去： ${\lim }_{x\to 1}\frac{x+1}{2x+1}$ 此时分母不为零，直接将 $x=1$ 代入连续函数中计算： $\frac{1+1}{2\times 1+1}=\frac{2}{3}$ 故选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极限的基本代数运算法则，有理分式消除未定式的方法。

2. 核心方法：因式分解消元法。

3. 避坑指南：不可在未约分前直接代入数值，防止得出分母为零的错误结论；分解分母二次项时需保证系数配凑准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于旧大纲教材中极限章节的基础核心计算题，是微积分初阶导数概念引入前的重要代数铺垫。

5. 结论推广：对于任意 $\frac{0}{0}$ 型多项式有理分式极限 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{P(x)}{Q(x)}$，若 $x_0$ 是其公共零点，则必可以通过多项式除法或因式分解提取出多阶零因子 $(x-x_0{)}^k$ 并将其约去，从而转化为非零有理计算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2010-大纲卷I理-02 单-三角函数