2007-四川卷理-15 填-两圆根轴概念

本题导读

本题主要考查点到圆的切线长公式以及求动点轨迹方程的基本方法。通过设出动点坐标，利用切线长相等建立几何等式并转化为代数方程，旨在考查学生的化简运算能力与解析几何基础概念的掌握。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(理)） 已知 $\odot O$ 的方程是 $x^2+y^2-2=0$，$\odot O^{\prime }$ 的方程是 $x^2+y^2-8x+10=0$，由动点 $P$ 向 $\odot O$ 和 $\odot O^{\prime }$ 所引的切线长相等，则动点 $P$ 的轨迹方程是$\underline{}$。

🔍【思路分析】

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1. 设动点 $P(x,y)$，由圆心、切点、动点构成的直角三角形，结合勾股定理分别表示出点 $P$ 到两圆的切线长平方。
2. 根据切线长相等的条件建立方程，消去二次项化简，并检验点 $P$ 是否在圆外以确保切线真实存在。

✅【答案】

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$x=32$

✍【详细解析】

Abstract

解： 设动点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$。 对于圆 $\odot O:x^2+y^2-2=0$，圆心为 $O(0,0)$，半径 $R_1=\sqrt{2}$。 点 $P$ 到圆 $\odot O$ 的切线长平方为： $l_1^2=|PO{|}^2-R_1^2=x^2+y^2-2$

对于圆 $\odot O^{\prime }:x^2+y^2-8x+10=0$，配方得 $(x-4{)}^2+y^2=6$，圆心为 $O^{\prime }(4,0)$，半径 $R_2=\sqrt{6}$。 点 $P$ 到圆 $\odot O^{\prime }$ 的切线长平方为： $l_2^2=|P{O}^{\prime }{|}^2-R_2^2=(x-4{)}^2+y^2-6=x^2+y^2-8x+10$

由题意知，动点 $P$ 到两圆的切线长相等，即 $l_1^2=l_2^2$： $x^2+y^2-2=x^2+y^2-8x+10$

两边消去 $x^2+y^2$，化简得： $8x=12⟹x=\frac{3}{2}$

检验切线存在性： 将 $x=\frac{3}{2}$ 代入 $l_1^2$ 可得： $l_1^2={\left(\frac{3}{2}\right)}^2+y^2-2=y^2+\frac{1}{4}$ 对于任意实数 $y$，$y^2+\frac{1}{4}>0$ 恒成立，说明直线 $x=\frac{3}{2}$ 上的所有点均在两圆外部，切线始终存在。

故动点 $P$ 的轨迹方程是 $x=\frac{3}{2}$（或 $2x-3=0$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点到圆的切线长公式。已知圆的一般方程 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，平面上一点 $(x_0,y_0)$ 到该圆的切线长平方公式为 $l^2=x_0^2+y_0^2+D{x}_0+E{y}_0+F$。
2. 核心方法：求轨迹方程的直接法。直接建立几何等量关系，代入坐标公式化简。
3. 避坑指南：求涉及“切线”的轨迹方程时，必须注意隐藏的约束条件——动点必须在圆的外部。若化简后的轨迹经过圆内，则需挖去圆内的部分。本题经检验全线满足，无需挖点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题具有明确的高等数学背景，源于平面解析几何中的**两圆根轴（Radical axis）**概念。平面上到两非同心圆切线长相等的点的轨迹称为这两圆的根轴。
2. 结论推广：设两圆的一般方程分别为： $C_1:x^2+y^2+D_{1}x+E_{1}y+F_1=0$ $C_2:x^2+y^2+D_{2}x+E_{2}y+F_2=0$ 若两圆不全等且非同心，则它们的根轴方程可通过两圆方程直接相减得到，即： $(D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+(F_1-F_2)=0$ 其几何轨迹是一条垂直于两圆心连线的直线（位于两圆外部的部分有效）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.06 圆的切线与极点极线
• 17.05 直线与圆的位置关系