2007-四川卷理-19 解-棱锥体积公式

本题导读

本题是一道典型的立体几何综合解答题。第一问要求通过线面垂直性质证明面面垂直；第二问和第三问既可以用传统几何法（作高、找射影），也可以建立空间直角坐标系利用向量法求解。本题全面考查了空间想象能力、逻辑推理论证能力以及空间向量的运算求解能力。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(理)） 如图，$PCBM$ 是直角梯形，$\angle PCB=90^{\circ }$，$PM\parallel BC$，$PM=1$，$BC=2$，又 $AC=1$，$\angle ACB=120^{\circ }$，$AB\perp PC$，直线 $AM$ 与直线 $PC$ 所成的角为 $60^{\circ }$。

(1) 求证：平面 $PAC\perp$ 平面 $ABC$；

(2) 求二面角 $M-AC-B$ 的大小；

(3) 求三棱锥 $P-MAC$ 的体积。

🔍【思路分析】

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1. 对于(1)，要证面面垂直，可先证线面垂直。已知 $AB\perp PC$，由直角梯形条件易得 $PC\perp BC$，从而推导出 $PC\perp$ 平面 $ABC$，进而证得面面垂直；
2. 对于(2)和(3)，以 $C$ 为原点，构建空间直角坐标系。利用直线 $AM$ 与 $PC$ 所成角为 $60^{\circ }$ 确定高 $PC$ 的长度。接着通过求两平面的法向量计算出二面角的余弦值；最后利用体积转换或点到面的距离公式求得三棱锥的体积。

✅【答案】

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因此tan 𝜃= √1 −3/73/7= 2√33 ，即𝜃= arctan 2√33

✍【详细解析】

Abstract

解： (1) 证明： 因为 $PCBM$ 是直角梯形，$\angle PCB=90^{\circ }$， 所以 $PC\perp BC$。 又已知 $AB\perp PC$，且 $BC\cap AB=B$，$BC,AB\subset$ 平面 $ABC$， 所以 $PC\perp$ 平面 $ABC$。 因为 $PC\subset$ 平面 $PAC$， 所以平面 $PAC\perp$ 平面 $ABC$。

(2) 如图，以 $C$ 为坐标原点，在平面 $ABC$ 内过 $C$ 作 $CB$ 的垂线为 $x$ 轴，直线 $CB$ 为 $y$ 轴，直线 $CP$ 为 $z$ 轴建立空间直角坐标系 $C-xyz$。 由 $PC\perp$ 平面 $ABC$ 且 $PM\parallel BC$，设 $PC=h(h>0)$。 则 $C(0,0,0)$，$B(0,2,0)$，$P(0,0,h)$，$M(0,1,h)$。 在平面 $ABC$ 中，由于 $AC=1$ 且 $\angle ACB=120^{\circ }$， 可得 $A\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2},0\right)$。

从而 $\overrightarrow{AM}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2},h\right)$。 由于 $PC\perp$ 平面 $ABC$，直线 $PC$ 的方向向量可取为 $\vec{k}=(0,0,1)$。 因为直线 $AM$ 与直线 $PC$ 所成的角为 $60^{\circ }$， 所以 $\cos 60^{\circ }=\frac{|\overrightarrow{AM}\cdot \vec{k}|}{|\overrightarrow{AM}|\cdot |\vec{k}|}=\frac{h}{\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{9}{4}+h^2}}=\frac{1}{2}$， 化简得 $2h=\sqrt{3+h^2}⟹4h^2=3+h^2⟹h=1$。 由此得各点坐标为：$P(0,0,1)$，$M(0,1,1)$。

易知平面 $ABC$ 的一个法向量为 ${\vec{n}}_1=(0,0,1)$。 设平面 $MAC$ 的法向量为 ${\vec{n}}_2=(x,y,z)$。 由 $\overrightarrow{CA}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2},0\right)$，$\overrightarrow{CM}=(0,1,1)$，得： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{CA}=0⟹\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y=0\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{CM}=0⟹y+z=0\end{array}$ 令 $x=1$，则 $y=\sqrt{3}$，$z=-\sqrt{3}$， 故 ${\vec{n}}_2=(1,\sqrt{3},-\sqrt{3})$。 设二面角 $M-AC-B$ 的平面角为 $\theta$，由图可知 $\theta$ 为锐角， $\cos \theta =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{|-\sqrt{3}|}{1\times \sqrt{1+3+3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$ 所以，二面角 $M-AC-B$ 的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{21}}{7}$。

(3) 三棱锥 $P-MAC$ 的体积即为三棱锥 $M-PAC$ 的体积。 由(1)知 $PC\perp$ 平面 $ABC$，且 $AC\subset$ 平面 $ABC$，所以 $PC\perp AC$。 在 Rt$△PAC$ 中，$PC=1$，$AC=1$， 其面积 $S_{△PAC}=\frac{1}{2}\times AC\times PC=\frac{1}{2}$。 设点 $M$ 到平面 $PAC$ 的距离为 $d$。 平面 $PAC$ 的一个法向量可求得为 ${\vec{n}}_3=(1,\sqrt{3},0)$，且 $\overrightarrow{PM}=(0,1,0)$， 则 $d=\frac{|\overrightarrow{PM}\cdot {\vec{n}}_3|}{|{\vec{n}}_3|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 所以，三棱锥 $P-MAC$ 的体积为： $V=\frac{1}{3}\times S_{△PAC}\times d=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{12}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直与面面垂直的转化，利用空间向量求解二面角及空间几何体体积。
2. 核心方法：建系坐标法。处理涉及特殊角度（如 $90^{\circ }$、$120^{\circ }$）且含有垂直特征的空间图形时，建系能把复杂的几何推导转化为代数运算。
3. 避坑指南：

• 建立坐标系时，非直角的轴（如本题中夹角为 $120^{\circ }$ 的 $CA$ 与 $CB$）不能直接作为坐标轴，需通过作垂线构造直角。
• 最终写出二面角大小时，需结合图形性质（观察是锐角还是钝角）校准三角函数值的符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题基于经典的立体几何“翻折模型”或“多面体拼接模型”改编，重点考查空间线面关系的定性判定与定量计算。
2. 结论推广：在求三棱锥体积时，“等体积转换法”（即更换顶点与底面，如 $V_{P-MAC}=V_{M-PAC}$）是避开直接求复杂底面上高的通用策略。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.01空间向量及其运算
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-18 解-等差数列通项
• 2019-全国卷I理-18 解-线面平行