2007-大纲卷I文-14 填-对数型反函数

本题导读

本题考查反函数的概念与求法，以及对数函数与指数函数互化。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(文)） 函数 $y=f(x)$ 的图象与函数 $y={\log }_{3}x$（$x>0$）的图象关于直线 $y=x$ 对称，则 $f(x)=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 关于直线 $y=x$ 对称的两函数互为反函数。
2. 由 $y={\log }_{3}x$ 反解 $x=3^y$，交换变量即得。

✅【答案】

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$3^x$（$x\in \mathbf{R}$）

✍【详细解析】

Abstract

关于直线 $y=x$ 对称的两个函数图象互为反函数． 由 $y={\log }_{3}x$ 得 $x=3^y$，交换 $x$、$y$ 得反函数 $y=3^x(x\in \mathbf{R}).$ 故 $f(x)=3^x$（$x\in \mathbf{R}$）．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数型反函数

核心方法：由 $y={\log }_{3}x$ 反解 $x=3^y$ 后交换变量

避坑指南：反函数定义域是原函数的值域：$y={\log }_{3}x$（$x>0$）值域为 $\mathbf{R}$，故 $f(x)=3^x$ 的定义域是 $\mathbf{R}$，漏写 $x\in \mathbf{R}$ 会被扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反函数的求法与图象对称关系是大纲卷常考小题。

结论推广：$y={\log }_{a}x$ 与 $y=a^x$ 互为反函数，图象关于直线 $y=x$ 对称。

方法推广：求反函数三步：反解 → 交换 $x$、$y$ → 注明定义域。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2008-四川卷文-02 单-对数型反函数
• 2008-大纲卷I文-08 单-反函数