2007-大纲卷I文-21 解-等差等比数列与错位相减

本题导读

本题考查等差数列的通项。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(文)） 设 $\{a_n\}$ 是等差数列，$\{b_n\}$ 是各项都为正数的等比数列，且 $a_1=b_1=1$，$a_3+b_5=21$，$a_5+b_3=13$． （1）求 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ 的通项公式； （2）求数列 $\left\{\frac{a_n}{b_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）$a_3+b_5=1+2d+q^4=21$，$a_5+b_3=1+4d+q^2=13$；令 $t=q^2>0$，消 $d$ 得 $2t^2-t-28=0$，解 $t=4$。
2. （2）$\frac{a_n}{b_n}=\frac{2n-1}{2^{n-1}}$，等差乘等比，标准错位相减。

✅【答案】

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（1）$a_n=2n-1$，$b_n=2^{n-1}$；（2）$S_n=6-\frac{2n+3}{2^{n-1}}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 设 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，$\{b_n\}$ 的公比为 $q$（$q>0$），则 $a_n=1+(n-1)d$，$b_n=q^{n-1}$． 由题设 $\{\begin{array}{l}1+2d+q^4=21,\\ 1+4d+q^2=13,\end{array}\text{即}\{\begin{array}{l}2d+q^4=20,\\ 4d+q^2=12.\end{array}$ 令 $t=q^2>0$，消去 $d$：$2t^2-t-28=0$，即 $(t-4)(2t+7)=0$，故 $t=4$，$q=2$，$d=2$． 所以 $a_n=2n-1$，$b_n=2^{n-1}$． （2） $S_n=\sum _{k=1}^n\frac{2k-1}{2^{k-1}}=\frac{1}{2^0}+\frac{3}{2^1}+\frac{5}{2^2}+\cdots +\frac{2n-1}{2^{n-1}}$． 两边乘 $\frac{1}{2}$ 作差： $\frac{1}{2}{S}_n=\frac{1}{2^1}+\frac{3}{2^2}+\cdots +\frac{2n-3}{2^{n-1}}+\frac{2n-1}{2^n},$ $S_n-\frac{1}{2}{S}_n=1+2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}\right)-\frac{2n-1}{2^n}=1+2\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)-\frac{2n-1}{2^n}.$ 整理： $\frac{1}{2}{S}_n=3-\frac{4}{2^n}-\frac{2n-1}{2^n}=3-\frac{2n+3}{2^n},$ 故 $S_n=6-\frac{2n+3}{2^{n-1}}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差等比数列与错位相减

核心方法：方程组 + 换元 $t=q^2$ 定基本量 → 错位相减求和

避坑指南：错位相减后合并同类项最容易错：$-\frac{4}{2^n}-\frac{2n-1}{2^n}=-\frac{2n+3}{2^n}$；各项为正的等比数列 $q>0$，$t=-\frac{7}{2}$ 的负根必须舍去。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“等差 + 等比混合条件定通项，再求 $\frac{等差}{等比}$ 型前 $n$ 项和”是大纲卷数列解答题的固定套路（2008 大纲Ⅰ文 19、2012 天津文 18 同型）。

结论推广：等差乘等比型 $\sum (an+b)q^{n-1}$ 用错位相减，结果形如 $S_n=A-\frac{Bn+C}{2^{n-1}}$。

方法推广：换元降次（$t=q^2$）处理 $q^4$ 与 $q^2$ 混合方程；错位相减最后一步务必代 $n=1$ 验证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练(Links)

• 2008-大纲卷I文-19 解-数列递推错位相减
• 2012-天津卷文-18 解-等差等比数列错位相减