2007-大纲卷I理-03 单-向量垂直坐标判定

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算及其位置关系判定。核心在于计算两向量的代数数量积，通过积是否为 0 判定二者是否处于刚性垂直状态。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(理)） 已知向量 $\mathbf{a}=(-5,6),\mathbf{b}=(6,5)$，则 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$()

A. 垂直　　B. 不垂直也不平行　　C. 平行且同向　　D. 平行且反向

🔍【思路分析】

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1. 计算坐标数量积：根据平面向量数量积坐标公式 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$，直接代入坐标数据。

2. 根据结果判定位置关系：若积为 0，则两非零向量互相垂直。若满足 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$，则两向量平行。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：已知两个平面向量的坐标分别为 $\mathbf{a}=(-5,6)$， $\mathbf{b}=(6,5)$。 我们计算这两个非零向量的数量积（点积）： $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=(-5)\times 6+6\times 5=-30+30=0$

根据平面向量的核心数量积性质定理： 对于任意两个非零向量，它们数量积严格等于 0 的充要条件是这两个向量互相垂直。 即： $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0⟺\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$

所以，向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的位置关系是互相垂直。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量垂直的坐标表示（ $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$）。
2. 核心方法：数量积判定法。
3. 避坑指南：

• 属于极其基础的送分题，看清坐标正负号，直接代入公式即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自高中数学必修四第二章平面向量数量积的经典基础训练题。

2. 结论推广：任意形如 $\mathbf{a}=(-m,n),\mathbf{b}=(n,m)$ 结构的向量对，其数量积恒为 $(-m)n+nm=0$，故此类构型的两向量在平面内恒保持刚性垂直。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积