2007-大纲卷II文-18 解-正弦定理与三角形最值

本题导读

本题考查正弦定理。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(文)） 在 $△ABC$ 中，已知内角 $A=\frac{\pi }{3}$，边 $BC=2\sqrt{3}$，设内角 $B=x$，周长为 $y$． （1）求函数 $y=f(x)$ 的解析式和定义域； （2）求 $y$ 的最大值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 定义域由三内角为正确定：$0<x<\frac{2\pi }{3}$。
2. 正弦定理：$\frac{b}{\sin x}=\frac{2\sqrt{3}}{\sin \frac{\pi }{3}}=4$，$b=4\sin x$；同理 $c=4\sin \left(\frac{2\pi }{3}-x\right)$。
3. 和差化积合并两个正弦，化为 $\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$ 求最大值。

✅【答案】

点击查看答案

（1）$y=2\sqrt{3}+4\sin x+4\sin \left(\frac{2\pi }{3}-x\right)$，$x\in \left(0,\frac{2\pi }{3}\right)$；（2）$y_{\max }=6\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） $△ABC$ 的内角和给出 $C=\pi -A-B=\frac{2\pi }{3}-x$．三内角均为正角，故定义域为 $0<x<\frac{2\pi }{3}$． 设 $CA=b$，$AB=c$．由正弦定理 $\frac{b}{\sin x}=\frac{BC}{\sin A}=\frac{2\sqrt{3}}{\sin \frac{\pi }{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4,$ 所以 $b=4\sin x$；同理 $c=4\sin \left(\frac{2\pi }{3}-x\right)$． 故周长 $y=f(x)=2\sqrt{3}+4\sin x+4\sin \left(\frac{2\pi }{3}-x\right),x\in \left(0,\frac{2\pi }{3}\right).$ （2） 由和差化积公式 $\sin x+\sin \left(\frac{2\pi }{3}-x\right)=2\sin \frac{\pi }{3}\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right),$ 故 $y=2\sqrt{3}+4\sqrt{3}\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right).$ 当 $x\in \left(0,\frac{2\pi }{3}\right)$ 时 $x-\frac{\pi }{3}\in \left(-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right)$，$\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$ 在 $x=\frac{\pi }{3}$ 处取得最大值 $1$，此时 $y$ 的最大值为 $2\sqrt{3}+4\sqrt{3}=6\sqrt{3}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理与三角形最值

核心方法：正弦定理统一成角，和差化积化单角

避坑指南：定义域由三内角为正确定 0<x<2π/3，最值要落在定义域内

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理与三角函数最值

结论推广：\sin x+\sin(\frac{2\pi}{3}-x)=\sqrt3\cos(x-\frac{\pi}{3})

方法推广：三角形最值问题用正弦定理化为单变量函数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练(Links)

• 2010-大纲卷I文-18 解-正弦定理求角
• 2009-大纲卷I文-18 解-解三角形求边