2007-大纲卷II理-02 单-三角函数单调区间

本题导读

本题考查含绝对值号的复合三角函数的单调性。核心在于通过翻折原理画出 $f(x)=|\sin x|$ 的图象，利用数形结合直接在坐标轴上比对锁定其单调递增区间。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(理)） 函数 $f(x)=|\sin x|$ 的一个单调递增区间是()

A. $\left(-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right)$　　B. $\left(\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right)$　　C. $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$　　D. $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$

🔍【思路分析】

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1. 图象翻折变换：函数 $f(x)=|\sin x|$ 的图象是由正弦曲线 $y=\sin x$ 保持 $x$ 轴上方部分不变、将 $x$ 轴下方的波谷沿 $x$ 轴向上翻折形成的连续拱形波。
2. 提取单调增区间特征：

• 在一个基础主周期 $[0,\pi ]$ 内，图象在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上单调递增，在 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 上单调递减。
• 在相邻的下半周期 $[\pi ,2\pi ]$ 内，原有的负向波谷翻折为正向拱形，其递增区间转化为 $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$，递减区间转化为 $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$。

3. 比对选项：将得出的标准增区间与四个选项进行比对，直接对位。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：根据绝对值函数的几何变换原理，函数 $f(x)=|\sin x|$ 的图象是由标准正弦曲线 $y=\sin x$ 位于 $x$ 轴下方的图象翻折到 $x$ 轴上方后得到的，其周期缩短为 $\pi$。

观察该函数的图象性质，其在全域内的所有标准单调递增区间集合为： $\left[k\pi ,k\pi +\frac{\pi }{2}\right](k\in \mathbf{Z})$

• 当 $k=0$ 时，标准递增区间为 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$；
• 当 $k=1$ 时，标准递增区间为 $\left[\pi ,\frac{3\pi }{2}\right]$。

比对题目给出的四个选项，C 选项的开区间 $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ 恰好完整包含在标准递增区间 $\left[\pi ,\frac{3\pi }{2}\right]$ 内部。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值翻折变换（ $y=|f(x)|$ 保持正区、翻折负区）、翻折后正弦函数的对称轴与全新单调区间。
2. 核心方法：数形结合法。
3. 避坑指南：

• 极易错选 A 或 D。 A 选项在 $\left(-\frac{\pi }{4},0\right)$ 上是单调递减的； D 选项在 $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$ 上是单调递减的。考场上如果不画图，只凭对 $\sin x$ 的刻板印象，极易由于忽略绝对值符号而把升降方向记反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：绝对值正弦函数的图象与性质、三角函数的单调区间是大纲卷II(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是绝对值正弦函数的图象与性质、三角函数的单调区间的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用数形结合法、整体代换分析法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2025-新高考I卷-05 单-函数性质
• 2009-湖南卷文-08 单-新定义分段函数
• 2009-福建卷理-01 单-三角恒等