2007-大纲卷II理-04 单-复合对数函数自变量域分析

本题导读

本题考查对数式数值大小的定性比较。由于给出的四个数均由自然对数 $\ln$ 复合而成，通过锁定核心基础量 $\ln 2$ 的精确数值范围，并以关键界限常数 0 和 1 作为参照锚点，可实现快速排除过滤。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(理)） 以下四个数中的最大者是()

A. $(\ln 2{)}^2$　　　　　　B. $\ln (\ln 2)$　　　　　　C. $\ln \sqrt{2}$　　　　　　D. $\ln 2$

🔍【思路分析】

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1. 确定底数核心基本量的范围：因为底数 $\text{e}\approx 2.718$， 满足 $1<2<\text{e}$。根据对数函数 $y=\ln x$ 的单调递增性， 恒有 $\ln 1<\ln 2<\ln \text{e}⟹0<\ln 2<1$。
2. 比较各选项与锚点的关系（分组过滤）：

• 对于 B 项： $\ln (\ln 2)$，由于其自变量满足 $0<\ln 2<1$，而当自变量在 $(0,1)$ 之间时，对数值严格为负数，即 $\ln (\ln 2)<0$。直接排除。
• 对于 A 项与 D 项：由于 $0<\ln 2<1$，一个小于 1 的正数自乘平方后，数值会变小，即 $(\ln 2{)}^2<\ln 2$。故 D 项必大于 A 项，排除 A。
• 对于 C 项与 D 项： $\ln \sqrt{2}=\ln 2^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\ln 2$。显然由于 $\ln 2>0$， 其一半的数值必小于本身，即 $\frac{1}{2}\ln 2<\ln 2$。排除 C。

3. 锁定最终最大值：综合以上链条， D 项 $\ln 2$ 完胜其余三项。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：首先，确定核心代数基准量 $\ln 2$ 的取值区间。 因为自然对数的底数 $\text{e}\approx 2.718$， 显然满足不等式关系 $1<2<\text{e}$。 由于函数 $y=\ln x$ 在其定义域上单调递增，各项同时取对数： $\ln 1<\ln 2<\ln \text{e}⟹0<\ln 2<1$

下面基于 $0<\ln 2<1$ 的数值大前提，对四个选项进行大小逻辑链条切分比对：

• 第一步：剔除负数项 对于 B 选项 $\ln (\ln 2)$，由于内层自变量 $\ln 2\in (0,1)$，而当对数的真数小于 1 时其对数值恒为负， 故： $\ln (\ln 2)<0$ 其余三个选项明显均大于 0， 故 B 选项绝非最大， 直接予以排除。

• 第二步：比较 A 选项与 D 选项 对于 A 选项 $(\ln 2{)}^2$ 与 D 选项 $\ln 2$， 根据实数幂次性质，一个处于开区间 $(0,1)$ 内的正数，其二次平方值必然严格小于其一阶一次方本身： $(\ln 2{)}^2<\ln 2$ 因此， D 选项的大小强于 A 选项， 排除 A 选项。

• 第三步：比较 C 选项与 D 选项 对于 C 选项 $\ln \sqrt{2}$， 利用对数的幂次外提性质进行化简： $\ln \sqrt{2}=\ln 2^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\ln 2$ 因为 $\ln 2>0$， 显然其乘以 $\frac{1}{2}$ 后的数值必小于其自身： $\frac{1}{2}\ln 2<\ln 2⟹\ln \sqrt{2}<\ln 2$ 因此， D 选项的大小强于 C 选项， 排除 C 选项。

综上所述， 四个数中数值最大的一项是 D 选项。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：自然对数底数 $\text{e}$ 的大小估计、真数处于 $(0,1)$ 时对数输出为负数、正分数二次幂缩水效应。
2. 核心方法：基准数性质排除法。
3. 避坑指南：

• 很多同学看到 B 选项中有两个 $\ln$ 复合， 视觉上觉得它很复杂或“很大”， 从而凭直觉错选。 记住在对数和指数的比较题中， 首要任务是用 0 和 1 这两个黄金锚点卡死所有未知项的正负性与相对界限，通常无需代入具体近似小数即可秒杀。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于经典的高考对数大小比较选择题题型，主要考查学生对抽象对数符号在不同定义域区间内输出特征的整体掌控力。

2. 结论推广: 对于任意满足 $0<m<1$ 的正数， 恒有递增大小链条： $\ln m<m^2<\frac{1}{2}m<m$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷理-11 单-球与棱锥的组合