2007-大纲卷II理-11 单-离心率计算

本题导读

本题考查双曲线离心率的求解。核心在于利用双曲线的几何定义，结合直角三角形 $\angle F_{1}A{F}_2=90^{\circ }$ 建立关于基本量 $a,c$ 的齐次方程，从而解除离心率。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(理)） 设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右焦点. 若双曲线线上存在点 $A$，使 $\angle F_{1}A{F}_2=90^{\circ }$，且 $|A{F}_1|=3|A{F}_2|$，则双曲线离心率为()

A. $\frac{\sqrt{5}}{2}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{10}}{2}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{15}}{2}$　　　　　　D. $\sqrt{5}$

🔍【思路分析】

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1. 引入焦半径代数设项：由 $|A{F}_1|=3|A{F}_2|$，设 $|A{F}_2|=m$ ($m>0$)，则 $|A{F}_1|=3m$。

2. 运用双曲线几何定义：根据双曲线定义，点 $A$ 到两焦点的距离之差的绝对值等于实轴长 $2a$。由 $|A{F}_1|>|A{F}_2|$ 知点 $A$ 在右支上： $|A{F}_1|-|A{F}_2|=2a⟹3m-m=2a⟹2m=2a⟹m=a$ 由此可得： $|A{F}_2|=a,|A{F}_1|=3a$。

3. 利用直角三角形建立齐次式：已知 $\angle F_{1}A{F}_2=90^{\circ }$， $△F_{1}A{F}_2$ 为直角三角形，两焦点的距离 $|F_1{F}_2|=2c$ 为斜边。根据勾股定理： $|A{F}_1{|}^2+|A{F}_2{|}^2=|F_1{F}_2{|}^2$

4. 代入化简求离心率：代入含 $a,c$ 的项，直接求出 $e=\frac{c}{a}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：设焦半径长度 $|A{F}_2|=m$ ($m>0$)。根据已知条件 $|A{F}_1|=3|A{F}_2|$，则有： $|A{F}_1|=3m$

因为点 $A$ 在双曲线上，根据双曲线的数理定义（第一定义），曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值等于常数实轴长 $2a$。 由于 $|A{F}_1|>|A{F}_2|$，点 $A$ 必然分布在双曲线的右支上，满足： $|A{F}_1|-|A{F}_2|=2a$ 将设项代入： $3m-m=2a⟹2m=2a⟹m=a$ 由此可得两条焦点弦长用基本量 $a$ 表达分别为： $|A{F}_2|=a,|A{F}_1|=3a$

又因为 $\angle F_{1}A{F}_2=90^{\circ }$，所以 $△F_{1}A{F}_2$ 是以 $A$ 为直角顶点的直角三角形，其斜边为焦距 $|F_1{F}_2|=2c$。 根据勾股定理建立代数等式： $|A{F}_1{|}^2+|A{F}_2{|}^2=|F_1{F}_2{|}^2$

将线段长度代入该勾股方程中： $(3a{)}^2+a^2=(2c{)}^2⟹9a^2+a^2=4c^2⟹10a^2=4c^2$ 两边同时除以 $4a^2$ 进行齐次化整理： $\frac{c^2}{a^2}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$

根据双曲线离心率的定义 $e=\frac{c}{a}$ ($e>1$)，两边开平方取正根： $e=\sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线第一定义 $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a$、焦点三角形中的勾股定理应用、离心率齐次变形。
2. 核心方法：代数设元消元法。
3. 避坑指南：

• 属于圆锥曲线中的高频常规送分题。算到 $10a^2=4c^2$ 时，千万注意是求 $c/a$ 而不是 $a/c$，避免因粗心导致将分子分母位置看反。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自经典的圆锥曲线“焦点三角形”模型，通过直角特征与线段定比，综合考查第一定义与离心率的转化。

2. 结论推广: 对于满足 $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$ 且 $|P{F}_1|=k|P{F}_2|(k>1)$ 的双曲线焦点三角形，其离心率满足统一恒等通式： $e=\frac{\sqrt{2(k^2+1)}}{k-1}$。本题中 $k=3$，代入可得 $e=\frac{\sqrt{20}}{2}=\frac{\sqrt{10}}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

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