2007-大纲卷II理-20 解-数量积坐标运算最值范围

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系、等比中项的代数应用以及平面向量数量积的取值范围。第一问利用圆心到直线的距离等于半径直接求出圆的方程；第二问利用等比中项和向量的数量积公式，将目标式转化为关于动点坐标的代数式，结合“圆内动点”的几何约束求解范围。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(理)） 在直角坐标系 $x{O}_y$ 中，以 $O$ 为圆心的圆与直线 $x-\sqrt{3}y=4$ 相切.

(1) 求圆 $O$ 的方程；

(2) 圆 $O$ 与 $x$ 轴相交于 $A、B$ 两点，圆内的动点 $P$ 使 $|PA|、|PO|、|PB|$ 成等比数列，求 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：

• 以 $O(0,0)$ 为圆心的圆与直线 $x-\sqrt{3}y-4=0$ 相切。
• 圆心到直线的距离 $d$ 等于圆的半径 $R$。套用点到直线距离公式求出 $R$。

2. 第二问：

• 由第一问求得的圆方程 $x^2+y^2=4$，其与 $x$ 轴的交点为 $A(-2,0),B(2,0)$。

• 设圆内动点 $P(x,y)$。因为 $P$ 在圆内，满足几何限制： $x^2+y^2<4$。

• 已知 $|PA|,|PO|,|PB|$ 成等比数列，根据等比中项性质： $|PO{|}^2=|PA|\cdot |PB|$。

• 利用两点间距离公式写出长度表达式，建立关于 $x,y$ 的方程。

• 展开目标数量积： $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=(x+2,y)\cdot (x-2,y)=x^2+y^2-4$。

• 将等比中项方程变形代入目标式中消元，结合 $x^2+y^2<4$ 的留域范围求解最值跨度。

✅【答案】

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𝑓′(𝑥)=e𝑥+e−𝑥.由平方恒非负，e𝑥+e−𝑥−2=(e𝑥/2−e−𝑥/2)2⩾0,故𝑓′(𝑥)⩾2.

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）因为圆以坐标原点 $O(0,0)$ 为圆心，且与直线 $x-\sqrt{3}y-4=0$ 相切， 所以，圆心 $O$ 到该直线的距离 $d$ 严格等于圆的半径 $R$。 套用点到直线的距离公式： $R=d=\frac{|0-\sqrt{3}\times 0-4|}{\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}}=\frac{|-4|}{\sqrt{1+3}}=\frac{4}{2}=2$

所以，圆 $O$ 的标准方程为： $x^2+y^2=4$

（2）令圆的方程 $x^2+y^2=4$ 中的 $y=0$， 求得其与 $x$ 轴的两个交点坐标分别为： $A(-2,0),B(2,0)$

设圆内的动点坐标为 $P(x,y)$。因为点 $P$ 严格位于圆的内部，满足条件： $x^2+y^2<4\text{(1)}$

由已知条件，长度线段 $|PA|,|PO|,|PB|$ 顺次构成等比数列。 根据等比中项的数理性质，两端项的乘积等于中间项的二次平方： $|PO{|}^2=|PA|\cdot |PB|\text{(2)}$ 依据两点间距离公式，各线段长度的平方项分别表达为： $|PO{|}^2=x^2+y^2$ $|PA{|}^2=(x+2{)}^2+y^2=x^2+y^2+4x+4$ $|PB{|}^2=(x-2{)}^2+y^2=x^2+y^2-4x+4$

将各项代入等比中项方程②式的平方形式 $|PO{|}^4=|PA{|}^2\cdot |PB{|}^2$ 中： $(x^2+y^2{)}^2=\left[(x^2+y^2+4)+4x\right]\left[(x^2+y^2+4)-4x\right]$ 右侧利用平方差公式展开： $(x^2+y^2{)}^2=(x^2+y^2+4{)}^2-16x^2$ $(x^2+y^2{)}^2=(x^2+y^2{)}^2+8(x^2+y^2)+16-16x^2$ 两边同时消去相同的四次项 $(x^2+y^2{)}^2$，移项化简整理得： $16x^2-8x^2-8y^2=16⟹8x^2-8y^2=16⟹x^2-y^2=2\text{(3)}$

现在，我们写出目标平面向量数量积的坐标表示形式： 由于 $\overrightarrow{PA}=(-2-x,-y),\overrightarrow{PB}=(2-x,-y)$，或者等价利用中点向量恒等式： $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=(x+2)(x-2)+y\cdot y=x^2-4+y^2=x^2+y^2-4$

为了求解该式的取值范围，我们需要利用等式③进行消元。由③式可得 $y^2=x^2-2$，代入数量积式中消除变量 $y$： $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=x^2+(x^2-2)-4=2x^2-6$

下面通过点 $P$ 在圆内的隐含约束①式 $x^2+y^2<4$ 来卡死独立变量 $x^2$ 的实际定义域： 将 $y^2=x^2-2$ 代入①式中： $x^2+(x^2-2)<4⟹2x^2<6⟹x^2<3$ 同时，由于 $y^2\ge 0⟹x^2-2\ge 0⟹x^2\ge 2$。 由此拦截出 $x^2$ 的刚性全值域范围为： $2\le x^2<3$

对目标一阶线性函数 $f(x^2)=2x^2-6$ 进行全域单调放缩：

• 当 $x^2=2$ 时， 取得闭区间下界： $2\times 2-6=-2$；
• 当 $x^2\to 3$ 时， 取得开区间上界： $2\times 3-6=0$。

由此得到目标数量积的完整取值区间为： $-2\le \overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}<0$

所以， $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 的取值范围是 $[-2,0)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点线相切几何变换（ $d=R$）、等比中项平方差多项式消元、向量极化恒等式（ $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}={\overrightarrow{PO}}^2-R^2$）、偶次方项非负隐性限制。
2. 核心方法：代数消元留域法。
3. 避坑指南：

• 本题最容易严重失分的盲区在于漏掉 $x^2\ge 2$ 的隐性下界限制。很多同学通过圆内条件只算出了 $x^2<3$，导致最终错误地认为范围是 $(-6,0)$。 必须牢记在消元过程中， 替换出来的因变量本身具有实数二次方非负的天然红线（ $y^2=x^2-2\ge 0$），由它夹出的下界缺一不可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查直线与圆相切的条件、点到直线的距离公式，是大纲卷II(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（坐标代数化法、几何性质转化法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：直线与圆相切的条件、点到直线的距离公式相互关联，解答中综合运用了坐标代数化法、几何性质转化法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.04 距离公式汇总
• 19.02 等比数列全总结
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷II文-18 解-等差等比综合求和
• 2008-江苏卷-19 解-数列删项等比
• 2008-湖南卷理-19 解-解三角形