2007-天津卷文-05 单-对数型反函数

本题导读

本题考查对数型函数的反函数。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(文)） 函数 $y={\log }_2(x+4)$（$x>0$）的反函数是 ()

A. $y=2^x+4$（$x>2$）　　　　　　　　　　　　　　B. $y=2^x+4$（$x>0$）

C. $y=2^x-4$（$x>2$）　　　　　　　　　　　　　　D. $y=2^x-4$（$x>0$）

🔍【思路分析】

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1. 由 $y={\log }_2(x+4)$ 得 $x=2^y-4$。
2. 原函数定义域 $x>0$ 对应值域 ${\log }_2(x+4)>{\log }_{2}4=2$，即反函数定义域 $x>2$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $y={\log }_2(x+4)$ 得 $2^y=x+4$，即 $x=2^y-4$． 原函数的定义域为 $x>0$，此时 $x+4>4$，故值域为 $y>{\log }_{2}4=2$． 交换 $x$、$y$ 得反函数 $y=2^x-4(x>2),$ 选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数型反函数

核心方法：解方程换 xy，定义域换值域

避坑指南：原函数定义域 x>0 限定反函数定义域 x>2，勿选 x>0 的干扰项

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数与对数互为反函数

结论推广：y=\log_2(x+4) 的反函数是 y=2^x−4

方法推广：反函数的定义域=原函数的值域，务必先算值域

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2008-重庆卷文-06 单-指数型反函数
• 2008-上海卷文-04 填-反函数求解析式