本题导读
本题是一道结合了多重限制条件的区域涂色排列组合题。题目要求“最多使用3种颜色”且“相邻格子颜色不同”，考查学生对分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合运用和严谨的分类讨论逻辑。
📌【题干】
Question
（2007年天津卷(理)） 如图，用 种不同的颜色给图中的 个格子涂色，每个格子涂一种颜色. 要求最多使用 种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种.（用数字作答）
/2007-天津卷理-16-题.png)
🔍【思路分析】
破题导航
- 限制条件为“最多使用3种颜色”且“相邻不同”，由于共有4个格子，1种颜色无法做到相邻不同，因此可分为“恰好使用2种颜色”和“恰好使用3种颜色”两类情况讨论；
- 对两类情况分别利用排列组合公式进行选色和排座计算，最后由加法原理合并得出总数。
点击查看答案
390
✍【详细解析】
Abstract
解： 设 4 个格子排成一排，依次为 1、2、3、4 号。 根据要求，给 4 个格子涂色且相邻不同，最多用 3 种颜色。因 1 种颜色无法保证相邻不同，故填涂方案分为以下两类情况：
第一类：恰好使用 2 种颜色
- 从 6 种颜色中任选 2 种，共有 种选法；
- 2 种颜色（设为 A, B）给 4 个相邻不同的格子涂色，颜色必须交替出现，只有 ABAB 或 BABA 两种排列方式，即 种。 故此类方法的种数为： 种。
第二类：恰好使用 3 种颜色 方法一：按颜色排布位置分类
- 从 6 种颜色中任选 3 种，共有 种选法；
- 3 种颜色填 4 个格子，必有某一种颜色被使用了 2 次，另外两种各使用 1 次。
- 选出使用 2 次的颜色，有 种选法（设其为 A）。
- 因为相邻不同，颜色 A 填入 4 个格子的位置只能是不相邻的 2 个位置，组合有三种：(1,3)、(1,4)、(2,4)。
- A 的位置选定后，剩下 2 个格子填入其余 2 种颜色，共有 种填法。 因此，选定 3 种颜色后的排列方法数为 种。 故此类方法的种数为： 种。
方法二：分步填涂排除法
- 从 6 种颜色中选 3 种，共有 种选法；
- 仅用这选出的 3 种颜色去填 4 个格子且相邻不同：
- 第 1 格有 3 种选法，第 2 格有 2 种（与1不同），第 3 格有 2 种（与2不同），第 4 格有 2 种（与3不同）。
- 共有 种。
- 但这 24 种里面包含了“只用了其中 2 种颜色”的情况。在这 3 种颜色中选 2 种出来交替涂色的方法有 种。
- 排除后，恰好使用 3 种的方法数为 种。 故此类方法的种数为： 种。
综合两类情况，根据分类加法计数原理，不同的涂色方法共有： 故答案为 390。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：排列组合中的特殊限制问题、直线型区域涂色模型。
- 核心方法：分类讨论法、排除法。
- 避坑指南：
- 易错点一：忽略隐含条件，误认为可以用 1 种颜色。
- 易错点二：在计算恰好使用 3 种颜色时，直接用分步法 进行全域计算，该计算未扣除使用颜色数超过 3 种或少于 2 种的组合，导致计数失控。必须对颜色使用种数进行严格界定。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题是高考概率中极其经典的“地图/格子涂色问题”，源于图论（Graph Theory）中的**四色猜想与图点着色（Graph Coloring）**简化模型。
- 结论推广：给排成一排的 个格子涂色，若提供 种颜色且相邻不同（不加颜色总数上限限制），则总涂色方案数为 。本题在此外壳下加上了最多 3 种颜色的上界截断，使得题目转向对色数的精细分类考查。
🔗【关联脉络】
Multi column