2007-安徽卷理-02 单-常用逻辑用语

本题导读

本题考查立体几何中线面垂直关系与常用逻辑用语的综合应用。核心在于精确把握线面垂直的定义（性质）与线面垂直的判定定理之间对“相交直线”的刚性限制差异。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(理)） 设 $l,m,n$ 均为直线，其中 $m,n$ 在平面 $\alpha$ 内，“$l\perp \alpha$” 是 “$l\perp m$ 且 $l\perp n$” 的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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1. 检验充分性：若 $l\perp \alpha$，由线面垂直的定义知，直线 $l$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的任意一条直线。因为 $m,n\subset \alpha$，所以必有 $l\perp m$ 且 $l\perp n$。

2. 检验必要性：若 $l\perp m$ 且 $l\perp n$，由于题目只给定 $m,n\subset \alpha$，并未指明 $m$ 与 $n$ 是否相交。若 $m\parallel n$， 直线 $l$ 垂直于两条平行线，无法刚性判定 $l\perp \alpha$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：利用立体几何的定义与判定定理对条件进行双向逻辑推导：

• 充分性检验（左 $⟹$ 右）： 若已知条件 $l\perp \alpha$ 成立， 根据线面垂直的几何定义：“若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线”。 因为已知直线 $m\subset \alpha$ 且 $n\subset \alpha$， 所以必定可以推导出 $l\perp m$ 且 $l\perp n$ 恒成立。 因此，充分性成立。

• 必要性检验（右 $⟹$ 左）： 若已知 $l\perp m$ 且 $l\perp n$，且 $m,n$ 都在平面 $\alpha$ 内。 根据线面垂直的判定定理：“一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则该直线垂直于此平面”。 题目条件中并没有指明 $m,n$ 这两条直线是否相交。 我们可以构造反例：当 $m\parallel n$ 时， 即使 $l$ 同时垂直于 $m$ 和 $n$， 直线 $l$ 也可以与平面 $\alpha$ 发生倾斜（即 $l$ 轴向倾斜，只要其方向向量在平面内的投影垂直于 $m$ 的方向即可），此时 $l$ 不垂直于 $\alpha$。 因此，必要性不充分。

综上所述，“$l\perp \alpha$” 是 “$l\perp m$ 且 $l\perp n$” 的充分不必要条件。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直定义的无限覆盖性、线面垂直判定定理中“两条相交直线”的刚性前提。
2. 核心方法：定理判定法、空间反例法。
3. 避坑指南：

• 极易误选充要条件（C）。牢记线面垂直判定定理里“相交（ $m\cap n=P$）”这两个字属于绝对不可抽离的底线。若无相交限制，平行线无法提供两个独立方向来锁死空间的法向量。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自空间线面位置关系的核心定理，是立体几何定性选择题的常考基础构型。

2. 结论推广: 在平面 $\alpha$ 内， 只有当命题增加限定前提 “$m,n$ 是两条相交直线” 时，“$l\perp \alpha$” 与 “$l\perp m$ 且 $l\perp n$” 方可完全等价转化为充分必要条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 02.01 常用逻辑用语