2007-安徽卷理-05 单-绝对值对数不等式求解

本题导读

本题考查集合运算（交集与补集）及指对数不等式的综合求解。核心在于精确确定集合 $A$ （整数集范围约束）和集合 $B$ （实数集范围约束）的解集区间，然后利用补集的几何含义进行交集元素计数。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(理)） 若 $A=\{x\in \mathbf{Z}\mid 2\le 2^{2-x}<8\}$， $B=\{x\in \mathbf{R}\mid |{\log }_{2}x|>1\}$，则 $A\cap ({\complement }_{\mathbf{R}}B)$ 的元素个数为()

A. 0　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

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1. 求解集合 $A$：

• 将不等式链统一化为以 2 为底的指数形式： $2^1\le 2^{2-x}<2^3$。
• 脱去底数得到单调指数关系： $1\le 2-x<3$，解出 $x$ 的实数范围。
• 提取出属于整数集 $\mathbf{Z}$ 的离散点。

2. 求解集合 $B$ 的补集 ${\complement }_{\mathbf{R}}B$：

• 集合 $B$ 满足 $|{\log }_{2}x|>1$。
• 其在实数域上的对立补集条件为： $|{\log }_{2}x|\le 1$（注意必须满足对数真数大于0的底线 $x>0$）。
• 去掉绝对值符号求解出 ${\complement }_{\mathbf{R}}B$ 的实数区间。

3. 求交集计数：比对集合 $A$ 内的整数元素，看哪些落在补集区间内，数出个数。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：首先求解集合 $A$ 的具体元素： 由于底数 $2>1$， 指数函数 $y=2^t$ 严格单调递增。将不等式链 $2\le 2^{2-x}<8$ 同底数化： $2^1\le 2^{2-x}<2^3$ 直接脱去底数， 不等号方向保持不变： $1\le 2-x<3$ 各项同时减去 2： $-1\le -x<1$ 各项同乘以 $-1$， 不等号方向发生强制翻转： $-1<x\le 1$ 因为集合 $A$ 限定元素必须属于整数集 $\mathbf{Z}$， 在区间 $(-1,1]$ 内的整数只有 0 和 1。 所以， 集合 $A$ 的规范表示为： $A=\{0,1\}$

其次求解集合 $B$ 的补集 ${\complement }_{\mathbf{R}}B$： 集合 $B$ 对应的特征不等式为 $|{\log }_{2}x|>1$。 根据补集的对立逻辑定义， 其补集 ${\complement }_{\mathbf{R}}B$ 的特征不等式为： $|{\log }_{2}x|\le 1$ 解这个绝对值不等式： $-1\le {\log }_{2}x\le 1$ 将常数项进行同底数对数化（ $-1={\log }_2\frac{1}{2},1={\log }_{2}2$）： ${\log }_2\frac{1}{2}\le {\log }_{2}x\le {\log }_{2}2$ 因为底数 $2>1$， 对数函数严格单调递增， 当 $x>0$ 时脱去对数号得 $\frac{1}{2}\le x\le 2$。 此外必须注意：对数函数真数必须大于 $0$， 当 $x\le 0$ 时 ${\log }_{2}x$ 无意义， 这些 $x$ 本就不属于 $B$， 全部落在补集中。 所以补集集合为： ${\complement }_{\mathbf{R}}B=(-\infty ,0]\cup \left[\frac{1}{2},2\right]$。

最后计算两个集合的交集 $A\cap ({\complement }_{\mathbf{R}}B)$： 我们需要检查集合 $A=\{0,1\}$ 中的整数元素是否落在闭区间 $\left[\frac{1}{2},2\right]$ 内：

• 对于数字 0： 因为 $0<\frac{1}{2}$， 不在区间内，排除；
• 对于数字 1： 因为 $\frac{1}{2}\le 1\le 2$， 完美落在区间内。

因此， 交集集合为： $A\cap ({\complement }_{\mathbf{R}}B)=\{1\}$ 该交集集合内包含的元素个数有且只有 1 个。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：同底数指数与对数不等式的规范求解、绝对值不等式的拆分、补集与交集的联合运算。
2. 核心方法：范围化简法、离散元素点代法。
3. 避坑指南：

• 求解指数范围 $-1\le -x<1$ 同乘负号时，千万别忘了不等号要变方向，变号后区间为 $(-1,1]$ 包含 0 和 1。

• 集合 $A$ 中含有 0，但必须时刻注意对数函数的真数大前提约束 $x>0$。在解补集时 0 本身就无意义，且 0 也不在 $[1/2,2]$ 内。细心排除 0，防止错数成 2 个（错选 C）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是集合概念、基本初等函数（指对数函数）不等式性质、常用数学符号的综合交汇中档题。

2. 结论推广: 针对任何形如 $A\cap (\complement B)$ 的计算题， 其本质等价于集合的差集运算 $A\setminus B$，代表属于 $A$ 且不属于 $B$ 的元素集合。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 01.01集合的含义、表示与基本运算