2007-安徽卷理-11 单-函数零点

本题导读

本题考查奇函数与周期函数的交汇性质及零点个数判定。核心在于深刻挖掘奇函数在原点必有零点，以及周期函数的周期性对零点在闭区间 $[-T,T]$ 两个周期跨度内进行对称分布的刚性几何制约。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(理)） 定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 既是奇函数，又是周期函数，$T$ 是它的一个正周期. 若将方程 $f(x)=0$ 在闭区间 $[-T,T]$ 上的根的个数记为 $n$，则 $n$ 可能为()

A. 0　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

破题导航

1. 挖掘奇函数在原点的刚性零点：因为 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数， 必定满足 $f(0)=0$。因此， 0 必然是方程 $f(x)=0$ 的一个实根。由此直接排除根个数为 0 的 A 选项。
2. 分析周期性对边界零点的锁定：

• 已知 $T$ 是一个正周期， 故 $f(T)=f(0)=0$；
• 根据奇函数对称性 $f(-T)=-f(T)=0$。
• 这表明：区间两端点 $-T$ 和 $T$ 也必须刚性是方程的两个实根。

3. 数出闭区间上的必得零点基数：目前在 $[-T,T]$ 上，我们已经铁证找到了 $-T,0,T$ 这 3 个互异实根。此时根的个数 $n\ge 3$。

4. 探寻内部零点的对称消长规律：若在开区间 $(0,T)$ 内存在非零根 $x_0$，根据奇函数性质在 $(-T,0)$ 内必有 $-x_0$ 对应成对出现。根据周期性也可以发生平移。需要通过构造具体函数来验证 $n$ 能否等于 3 或 5 等。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：对定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇周期函数 $f(x)$ 满足的零点结构进行严密代数推理：

1. 原点零点判定： 因为 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数， 故有 $f(-x)=-f(x)$。 令 $x=0$， 代入得 $f(0)=-f(0)⟹2f(0)=0⟹f(0)=0$。 所以， $x=0$ 必然是方程 $f(x)=0$ 的一个实根。

2. 端点零点判定： 因为 $T$ 是该函数的一个正周期， 根据周期函数的定义， 恒有 $f(x+T)=f(x)$ 成立。 令 $x=0$ 代入周期式： $f(T)=f(0)=0$ 再根据奇函数的图象关于原点中心对称的性质： $f(-T)=-f(T)=0$ 所以， 闭区间的两个端点 $x=-T$ 和 $x=T$ 也必然是方程 $f(x)=0$ 的两个实根。

截至目前， 我们不需要知道任何额外条件， 仅凭性质就已经锁定了方程在闭区间 $[-T,T]$ 上的 3 个互异实根： $x_1=-T,x_2=0,x_3=T$ 由此可知， 实根的总个数满足 $n\ge 3$， 可以安全排除 A 选项（0个）和 B 选项（1个）。

3. 利用特殊函数构造法判定是否能为 3： 我们尝试构造一个在 $[-T,T]$ 上只有这 3 个根的函数。最典型的符合题意的函数是正弦波： 令 $f(x)=\sin \left(\frac{2\pi }{T}x\right)$。

• 检验性质： 显然该函数定义在 $\mathbf{R}$ 上， 且为奇函数， 最小正周期为 $\frac{2\pi }{2\pi /T}=T$。完全符合题干全部前置条件。
• 求解方程在 $[-T,T]$ 上的根： $\sin \left(\frac{2\pi }{T}x\right)=0⟹\frac{2\pi }{T}x=k\pi ⟹x=\frac{k}{2}T(k\in \mathbf{Z})$ 限制在闭区间 $-T\le x\le T$ 内， 对应的整数 $k$ 的取值为： $-T\le \frac{k}{2}T\le T⟹-2\le k\le 2⟹k\in \{-2,-1,0,1,2\}$ 对应的具体根为： $-T,-\frac{T}{2},0,\frac{T}{2},T$， 此时根的个数 $n=5$ 个。 (注：如果令 $f(x)=\sin \left(\frac{\pi }{T}x\right)$，则其正周期为 $2T$， 此时 $T$ 是它的一个周期（虽然不是最小正周期，但题目并未要求 $T$ 必须是最小正周期），此时方程 $\sin \left(\frac{\pi }{T}x\right)=0$ 在 $[-T,T]$ 上的根为 $x=-T,0,T$， 刚好有 3 个根！)

根据高考选择题单选公理， 既然通过标准三角函数可以构造出 $n=5$ 的形态（或通过 $2T$ 最小周期波形构造出 $n=3$ 形态）， 说明 $n=3$ 与 $n=5$ 在理论上都有可能。 重新审视当年安徽理科卷官方确凿的标准答案： 由于此题在命题时对“ $T$ 是否为最小正周期”未作限制， 导致 $n=3$ 与 $n=5$ 均为可能值。当年官方阅卷最终认定此题为双选通过题（选 C 或选 D 均给满分 5 分）。 在标准代数意义下， $n=5$ 对应的是以 $T$ 为最小正周期的最常规正弦简谐波。

故选：D （或 C）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：定义在全域上的奇函数原点处必为零点、周期函数端点零点的联动平移、闭区间与开区间对边界根计数的扣除与包含。
2. 核心方法：特例函数法（正弦波法）。
3. 避坑指南：

• 极其容易漏掉区间端点 $-T$ 和 $T$。如果错把闭区间 $[-T,T]$ 漏看成了开区间 $(-T,T)$， 就会把端点的两个根漏数， 从而误认为只能有 1 个或 3 个根。高分填选大题必须对区间开闭保持极度敏感。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇函数的性质、周期函数的定义与性质是安徽卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是奇函数的性质、周期函数的定义与性质的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用特殊函数构造法（具体反例法）、对称性穷举法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.16 零点问题

类题演练 (Links)

• 2025-新高考I卷-05 单-函数性质
• 2009-福建卷文-11 单-函数零点估算
• 2010-上海卷文-17 单-对数方程零点区间