2007-安徽卷理-18 解-构造新函数证明不等式恒成立

本题导读

本题考查导数工具在研究函数单调性、极值以及证明不等式中的应用。第一问通过构造新函数 $F(x)=x{f}^{\prime }(x)$ 并通过对其求导，分析其在一阶导数零点两侧的变号规律以确定单调性与极值；第二问将待证不等式转化为原函数 $f(x)>0$ 的形式，利用第一问所得的单调性特征控制函数的最小值。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(理)） 设 $a\ge 0,f(x)=x-1-{\ln }^{2}x+2a\ln x$ ($x>0$).

(1) 令 $F(x)=x{f}^{\prime }(x)$，讨论 $F(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 内的单调性并求极值；

(2) 求证：当 $x>1$ 时，恒有 $x>{\ln }^{2}x-2a\ln x+1$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：

• 首先对 $f(x)$ 求导，求出 $f^{\prime }(x)=1-\frac{2\ln x}{x}+\frac{2a}{x}$。
• 代入构建 $F(x)=x{f}^{\prime }(x)=x-2\ln x+2a$。
• 对 $F(x)$ 求导得 $F^{\prime }(x)=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}$。导数的零点仅为 $x=2$，结合变号规律判定单调性与极小值。

2. 第二问：

• 移项重构不等式：待证式等价于 $x-1-{\ln }^{2}x+2a\ln x>0$，即证明当 $x>1$ 时， 恒有 $f(x)>0$。

• 利用第一问结论得知， $F(x)=x{f}^{\prime }(x)$ 的全局最小值为 $F(2)=2-2\ln 2+2a$。由于 $a\ge 0,2>\ln 4$，可知 $F(x)>0⟹f^{\prime }(x)>0$ 恒成立。

• 抛物线/对数曲线单调增，代入临界下确界端点值 $f(1)$ 即可直接锁定证明。

✅【答案】

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（1）由𝑓′(𝑥)=1−2ln𝑥𝑥+2𝑎

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）对函数 $f(x)=x-1-{\ln }^{2}x+2a\ln x$ 在定义域 $(0,+\infty )$ 内求导： $f^{\prime }(x)=1-2\ln x\cdot \frac{1}{x}+\frac{2a}{x}=1-\frac{2\ln x-2a}{x}$ 根据题意， 构造新函数 $F(x)=x{f}^{\prime }(x)$： $F(x)=x\left(1-\frac{2\ln x-2a}{x}\right)=x-2\ln x+2a$

下面对函数 $F(x)$ 求导以分析其单调性： $F^{\prime }(x)=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}$ 因为自变量定义域 $x>0$， 导函数 $F^{\prime }(x)$ 的正负符号完全由分子多项式 $(x-2)$ 决定：

• 当 $0<x<2$ 时， $F^{\prime }(x)<0$， 函数 $F(x)$ 在区间 $(0,2)$ 内严格单调递减；
• 当 $x>2$ 时， $F^{\prime }(x)>0$， 函数 $F(x)$ 在区间 $(2,+\infty )$ 内严格单调递增。

由此可知， 当 $x=2$ 时， 导数相异变号， 函数 $F(x)$ 取得全局唯一的极小值（也是绝对最小值）： $F(x{)}_{\text{极小值}}=F(2)=2-2\ln 2+2a$ 函数无极大值。

（2）证明：将待证的不等式 $x>{\ln }^{2}x-2a\ln x+1$ 进行右侧项整体移项变形： $x-1-{\ln }^{2}x+2a\ln x>0$ 观察发现， 左侧代数式恰好全等于原函数 $f(x)$。 因此， 原命题等价于求证：当 $x>1$ 时， 恒有 $f(x)>0$。

由第（1）问的结论可知， 函数 $F(x)$ 在其定义域上的绝对最小值为： $F(x)\ge F(2)=2-\ln 4+2a$ 因为自然对数底数 $\text{e}\approx 2.718>2⟹{\text{e}}^2\approx 7.389>4$， 故 $\ln 4<2$， 即 $2-\ln 4>0$。 又已知大前提参数满足 $a\ge 0⟹2a\ge 0$。 所以， 对于任意 $x>0$， 恒有： $F(x)\ge F(2)>0$

因为 $F(x)=x{f}^{\prime }(x)>0$， 且自变量在指定研究区间上满足 $x>1>0$， 根据正数同除法则， 必有： $f^{\prime }(x)=\frac{F(x)}{x}>0$ 这表明， 原函数 $f(x)$ 在闭区间 $[1,+\infty )$ 上是一个严格的单调递增函数。

根据一阶导数严格单调递增的刚性几何特征， 当 $x>1$ 时， 函数值必然严格大于其左开边界的下确界值 $f(1)$： $f(x)>f(1)$ 将临界值 $x=1$ 代入原函数 $f(x)$ 的代数式中进行定量计算： $f(1)=1-1-{\ln }^{2}1+2a\ln 1=0-0+0=0$ 所以： $f(x)>0$ 即 $x-1-{\ln }^{2}x+2a\ln x>0$ 恒成立。

将其重新移项还原， 得到： 当 $x>1$ 时， 恒有 $x>{\ln }^{2}x-2a\ln x+1$。 原不等式全盘获证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：构造高阶新函数求导判定下单调性、超越不等式符号的数值估算（ $2-\ln 4>0$）、利用导数单调性控制开边界端点最值。
2. 核心方法：高阶导数剥壳法、单调性端点覆盖法。
3. 避坑指南：

• 第二问中证明 $F(2)>0$ 时，千万不要因为含有参数 $a$ 而惊慌失措去盲目讨论。题目开头给出了 $a\ge 0$，且常数部分 $2-2\ln 2=2-\ln 4>0$ 是恒正的常数，所以 $F(x)$ 全局恒正，直接锁死了 $f^{\prime }(x)>0$，从而避免了繁琐的分类讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查导数的代数运算与恒等变形、利用导数研究函数的单调性与极值，是安徽卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（连续求导法（高阶导数思想）、分类讨论法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：导数的代数运算与恒等变形、利用导数研究函数的单调性与极值相互关联，解答中综合运用了连续求导法（高阶导数思想）、分类讨论法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2008-四川卷理-22 解-导数
• 2008-大纲卷I文-21 解-导数单调性含参
• 2008-大纲卷I理-22 解-导数