2007-山东卷理-04 单-分数指数幂负整数指数幂

本题导读

本题考查常见幂函数的定义域与奇偶性。通过给定集合内的不同指数，要求熟练掌握五个核心幂函数的图象特征与代数性质，属于高频考查的基础概念辨析题。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(理)） 设 $\alpha \in \left\{-1,1,\frac{1}{2},3\right\}$，则使函数 $y=x^{\alpha }$ 的定义域为 $\mathbb{R}$ 且为奇函数的所有 $\alpha$ 值为()

A. $1,3$　　　　B. $-1,1$　　　　C. $-1,3$　　　　D. $-1,1,3$

🔍【思路分析】

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1. 遍历集合中的四个元素，优先判断其对应的幂函数定义域是否为 $\mathbb{R}$，排除不符合的选项。

2. 在定义域为 $\mathbb{R}$ 的函数中，进一步验证其是否满足奇函数性质 $f(-x)=-f(x)$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

当 $\alpha =-1$ 时，$y=x^{-1}=\frac{1}{x}$，定义域为 $\{x\mid x\ne 0\}$，不满足定义域为 $\mathbb{R}$，排除； 当 $\alpha =1$ 时，$y=x$，定义域为 $\mathbb{R}$，且 $f(-x)=-x=-f(x)$ 为奇函数，满足条件； 当 $\alpha =\frac{1}{2}$ 时，$y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$，定义域为 $[0,+\infty )$，不满足定义域为 $\mathbb{R}$，排除； 当 $\alpha =3$ 时，$y=x^3$，定义域为 $\mathbb{R}$，且 $f(-x)=(-x{)}^3=-x^3=-f(x)$ 为奇函数，满足条件． 综上所述，满足条件的 $\alpha$ 值为 1 和 3． 故选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：幂函数 $y=x^{\alpha }$ 当 $\alpha$ 取不同常数时的结构、定义域、奇偶性规律。

2. 核心方法：逐项代入验证法。

3. 避坑指南：容易忽略 $\alpha =-1$ 时分母不能为 0 的限制，以及 $\alpha =\frac{1}{2}$ 作为根式时自变量必须非负的限制。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中幂函数基本性质的综合归纳表，主要考查学生对基础初等函数定义的精确理解。

5. 结论推广：一般地，对于幂函数 $y=x^{\frac{m}{n}}$（$m,n$ 为互质的正整数），若其定义域为 $\mathbb{R}$ 且为奇函数，则 $m$ 和 $n$ 必须同时为奇数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷理-13 填-函数奇偶性