2007-山东卷理-06 单-基本初等函数运算性质

本题导读

本题考查抽象函数方程与基本初等函数性质的对应关系。通过将指数、对数、正切函数的代数运算规律抽象为函数方程，考查学生对函数模型本质的理解与公式双向转化的能力。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(理)） 给出下列三个等式：$f(xy)=f(x)+f(y)$，$f(x+y)=f(x)f(y)$，$f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}$．下列函数中不满足其中任何一个等式的是()

A. $f(x)=3^x$　　B. $f(x)=\sin x$　　C. $f(x)={\log }_{2}x$　　D. $f(x)=\tan x$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 回顾常见经典初等函数的运算性质，将其与题目中的抽象函数方程进行模型匹配。

2. 对数函数的“积变和”对应第一个方程；指数函数的“和变积”对应第二个方程；正切函数的两角和公式对应第三个方程。逐一排除后锁定答案。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

对于第一个等式 $f(xy)=f(x)+f(y)$：当 $f(x)={\log }_{2}x$ 时，有 ${\log }_2(xy)={\log }_{2}x+{\log }_{2}y$ 恒成立，故排除 C； 对于第二个等式 $f(x+y)=f(x)f(y)$：当 $f(x)=3^x$ 时，有 $3^{x+y}=3^x\cdot 3^y$ 恒成立，故排除 A； 对于第三个等式 $f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}$：当 $f(x)=\tan x$ 时，由正切两角和公式 $\tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}$ 恒成立，故排除 D； 而 $f(x)=\sin x$ 的和差展开式为 $\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$，无法满足上述任何一个独立方程． 故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数、指数、正切函数的特有代数运算律，抽象函数的基本模型。

2. 核心方法：经典函数模型直接代入匹配法。

3. 避坑指南：切勿把对数函数模型 $f(xy)=f(x)+f(y)$ 与指数函数模型 $f(x+y)=f(x)f(y)$ 记反，注意各自的定义域限制。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于高等数学中柯西（Cauchy）泛函方程的初等表现形式，高考常利用此类抽象方程来考查基本初等函数的本质特征。
5. 结论推广：常见的经典抽象函数模型映射关系如下：

• 正比例函数 $f(x)=kx⟺f(x+y)=f(x)+f(y)$

• 指数函数 $f(x)=a^x⟺f(x+y)=f(x)f(y)$

• 对数函数 $f(x)={\log }_{a}x⟺f(xy)=f(x)+f(y)$

• 幂函数 $f(x)=x^n⟺f(xy)=f(x)f(y)$

🔗【关联脉络】

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• 05.02 函数的四大性质

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