2007-山东卷理-11 单-直角三角形射影定理

本题导读

本题以直角三角形为几何背景，将传统的平面几何射影定理与平面向量的数量积运算深度结合。核心考查向量数量积的几何意义（正射影）以及利用向量工具证明几何等式的能力。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(理)） 在直角 $\Delta ABC$ 中，$CD$ 是斜边 $AB$ 上的高，则下列等式不成立的是()

A. $|\overrightarrow{AC}{|}^2=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}$　　　　　　B. $|\overrightarrow{BC}{|}^2=\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$

C. $|\overrightarrow{AB}{|}^2=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CD}$　　　　　　D. $|\overrightarrow{CD}{|}^2=\frac{(\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB})\times (\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC})}{|\overrightarrow{AB}{|}^2}$

🔍【思路分析】

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1. 转化数量积：利用平面向量数量积的几何意义，将向量的点积转化为线段长度与其射影长度的乘积。

2. 结合几何定理：结合直角三角形中的射影定理以及面积公式，逐一验证各选项的代数等价性，找出不成立的式子。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

在直角 $\Delta ABC$ 中，$\angle ACB=90^{\circ }$，$CD\perp AB$ 于 $D$． 对于 A：$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{AB}|\cos A$．因 $\cos A=\frac{AC}{AB}$，则 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=AC\cdot AB\cdot \frac{AC}{AB}=A{C}^2=|\overrightarrow{AC}{|}^2$，等式成立； 对于 B：$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|\cos B$．因 $\cos B=\frac{BC}{AB}$，则 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=AB\cdot BC\cdot \frac{BC}{AB}=B{C}^2=|\overrightarrow{BC}{|}^2$，等式成立； 对于 D：由 A、B 可知，分子 $(\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB})\times (\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC})=A{C}^2\cdot B{C}^2$．分母为 $A{B}^2$．由直角三角形面积公式得 $AC\cdot BC=AB\cdot CD$，故 $\frac{A{C}^2\cdot B{C}^2}{A{B}^2}=C{D}^2=|\overrightarrow{CD}{|}^2$，等式成立； 对于 C：$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC})\cdot \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{CD}-|\overrightarrow{CD}{|}^2=0-C{D}^2=-C{D}^2\ne A{B}^2$，等式不成立． 故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积的代数与几何意义，直角三角形中的射影定理与面积公式。

2. 核心方法：投影转化法（把向量数量积转化为基底向量或投影段长度乘积）。

3. 避坑指南：注意向量的方向性，例如 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$ 的夹角为 $\angle B$，而 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}$ 的夹角为 $\pi -\angle B$，切勿因看错向量方向导致符号出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于欧几里得《几何原本》中的直角三角形射影定理，属于用近代向量语言对传统经典几何定理进行重新包装的坐标与现代几何创新题。

5. 结论推广：在任意三角形 $ABC$ 中，若 $CD\perp AB$，则对于恒等式 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{AB}|\cos A=AB\cdot AD$ 始终成立，即向量点积的本质是“基底长度与正射影长度的乘积”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 11.05 射影定理与内角和性质

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷理-13 填-向量的模与数量积