2007-广东卷文-01 单-集合交集与分式不等式

本题导读

本题考查集合的交集运算，以及分式不等式求解。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(文)） 已知集合 $M=\{x\mid 1+x>0\}$，$N=\left\{x\mid \frac{1}{1-x}>0\right\}$，则 $M\cap N=$ ()

A. $\{x\mid -1⩽x<1\}$　　　　B. $\{x\mid x>1\}$　　　　C. $\{x\mid -1<x<1\}$　　　　D. $\{x\mid x⩾-1\}$

🔍【思路分析】

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1. 解 $M$：$$\begin{gathered} 1+x>0 \\ iffx>-1 \end{gathered}$$。
2. 解 $N$：分子 1 为正，分母须为正，$$\begin{gathered} 1-x>0 \\ iffx<1 \end{gathered}$$。
3. 取公共：$-1<x<1$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $1+x>0$ 得 $x>-1$，故 $M=\{x\mid x>-1\}$． 又 $\frac{1}{1-x}>0$ 等价于 $1-x>0$，即 $x<1$，故 $N=\{x\mid x<1\}$． 因此 $M\cap N=\{x\mid -1<x<1\}$，故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合交集与分式不等式

核心方法：$\frac{1}{1-x}>0⟺1-x>0$（分子恒正）；交集取 $-1<x<1$

避坑指南：分式大于零先看分子符号，分子为正常数时只约束分母；$M$ 的开区间端点 $-1$ 不含在 $N$ 的补段内，别写成 $⩽$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2007 广东文第 1 题延续广东卷集合运算开卷传统，历年（2013-2015）首题均为交集或并集的基本运算

结论推广：分式不等式 $\frac{g(x)}{f(x)}>0$ 与整式不等式 $g(x)f(x)>0$ 同解，可统一转化

方法推广：分子为正常数时，分式不等式退化为分母符号的判断，先定型再动笔

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练(Links)

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