2007-广东卷文-10 单-环形调动最少件次

本题导读

本题考查新定义与最优化，以及绝对值函数的最值。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(文)） 如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图. 公司在年初分配给 $A$，$B$，$C$，$D$ 四个维修点某种配件各 50 件. 在使用前发现需将 $A$，$B$，$C$，$D$ 四个维修点的这批配件分别调整为 40，45，54，61 件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（$n$ 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为 $n$）为 ()

A. 18　　　　　　　B. 17　　　　　　　C. 16　　　　　　　D. 15

🔍【思路分析】

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1. 各点库存变化量：$A:-10$，$B:-5$，$C:+4$，$D:+11$。
2. 设沿 $AB$，$BC$，$CD$，$DA$ 方向的有向调动件数为 $x$，$y$，$z$，$w$（负值表示反向）：$x-w=10$，$y-x=5$，$z-y=-4$，$w-z=-11$。
3. 令 $x=t$：$y=t+5$，$z=t+1$，$w=t-10$，调动件次 $F(t)=|t|+|t+5|+|t+1|+|t-10|$。
4. 绝对值断点 $-5,-1,0,10$，中位区间 $[-1,0]$ 上 $F$ 恒为最小：取 $t=0$，$F(0)=0+5+1+10=16$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

四个维修点的库存变化量分别为 $A:-10$，$B:-5$，$C:+4$，$D:+11$． 设沿 $AB$，$BC$，$CD$，$DA$ 方向的有向调动件数分别为 $x$，$y$，$z$，$w$，正值表示沿所标方向调动，负值表示反向调动，则 $x-w=10$，　$y-x=5$，　$z-y=-4$，　$w-z=-11$． 令 $x=t$，解得 $y=t+5$，$z=t+1$，$w=t-10$．所以调动件次为 $F(t)=|t|+|t+5|+|t+1|+|t-10|$． 其绝对值的断点为 $-5$，$-1$，$0$，$10$．绝对值和型函数在断点的中位区间取最小，中间两个断点为 $-1$，$0$，故当 $-1⩽t⩽0$ 时 $F(t)$ 取得最小值；此时 $F=-t+(t+5)+(t+1)+(10-t)=16$（恒定）． 例如取 $t=0$：$x=0$，$y=5$，$z=1$，$w=-10$，即 $B\to C$ 调 5 件、$C\to D$ 调 1 件、$A\to D$ 调 10 件，共 $5+1+10=16$ 件次，满足各点目标库存． 因此最少调动件次为 16，故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：环形调动最少件次

核心方法：设四段有向流量 $x,y,z,w$，令 $x=t$ 得 $F(t)=|t|+|t+5|+|t+1|+|t-10|$，中位区间取最小 16

避坑指南：有向流量可负（反向调动）；$F$ 在 $[-1,0]$ 上恒为 16，取 $t=0$ 验证方案；别误认最少值必在整数 $t$ 处取得

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：环形维修点调动问题为广东卷创新题（2009 文 10 火炬最短路线同类），考查绝对值和最优化

结论推广：环形双向调配可用有向流量线性方程组刻画，总件次为绝对值和，最小值在中位区间取得

方法推广：绝对值和 $\sum |t-a_i|$ 型最值：将 $a_i$ 排序，最小值在中间两数之间取得（奇数个取中位数）

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练(Links)

• 2009-广东卷文-10 单-火炬最短路线
• 2012-广东卷文-10 单-向量新定义
• 2011-广东卷文-10 单-函数新定义运算
• 2015-广东卷文-10 单-计数原理