2007-广东卷文-13 填-Sn求通项与项数定位

本题导读

本题考查由Sn求an，以及等差数列。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=n^2-9n$，则其通项 $a_n=$　　　　；若它的第 $k$ 项满足 $5<a_k<8$，则 $k=$　　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a_1=S_1=1-9=-8=2\times 1-10$，通项公式对 $n=1$ 也成立。
2. $n⩾2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}=n^2-9n-[(n-1{)}^2-9(n-1)]=2n-10$。
3. $5<2k-10<8⟺\frac{15}{2}<k<9$，正整数解 $k=8$。

✅【答案】

点击查看答案

$a_n=2n-10$；$8$

✍【详细解析】

Abstract

当 $n⩾2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=n^2-9n-\left[(n-1{)}^2-9(n-1)\right]=2n-10$． 又 $a_1=S_1=1-9=-8=2\times 1-10$，故对所有正整数均有 $a_n=2n-10$（等差数列）． 由 $5<a_k<8$，得 $5<2k-10<8$，即 $\frac{15}{2}<k<9$．由于 $k$ 为正整数，故 $k=8$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：Sn求通项与项数定位

核心方法：$a_n=S_n-S_{n-1}=2n-10$，并验证 $n=1$；$5<2k-10<8$ 解出 $k=8$

避坑指南：由 $S_n$ 求 $a_n$ 须检验 $a_1=S_1$ 是否并入通式；双空题第二空以第一空通项代入不等式，别用 $S_k$ 代

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$S_n$ 与 $a_n$ 关系是数列通项求法的第一课，2014 广东理 19 为解答版

结论推广：$a_n=S_n-S_{n-1}$（$n⩾2$）分段求出后必须检验 $n=1$ 是否并入

方法推广：由和求通项：先算 $a_1$，再作差，最后并段检验；项数定位则把条件化为关于 $n$ 的不等式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.01 等差数列全总结

类题演练(Links)

• 2014-广东卷理-19 解-由前n项和求通项
• 2010-广东卷理-04
• 2013-广东卷理-12 填-等差数列性质