2007-广东卷理-03 单-三角函数奇偶性

本题导读

本题考查三角函数的性质，包含最小正周期与奇偶性的判定。核心在于利用余弦二倍角公式对原解析式进行降幂化简，将其转化为标准单弦型三角函数，从而快速直接判定其周期与奇偶特征。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(理)） 若函数 $f(x)={\sin }^{2}x-\frac{1}{2}(x\in \mathbf{R})$，则 $f(x)$ 是()

A. 最小正周期为 $\frac{\pi }{2}$ 的奇函数　　　　　B. 最小正周期为 $\pi$ 的奇函数

C. 最小正周期为 $2\pi$ 的偶函数　　　　　D. 最小正周期为 $\pi$ 的偶函数

🔍【思路分析】

破题导航

1. 降幂公式化简：

• 联想余弦二倍角公式： $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x⟹{\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$。
• 代入原式： $f(x)=\frac{1-\cos 2x}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\cos 2x$。

2. 判定最小正周期：对于 $y=A\cos (\omega x+\varphi )$，其最小正周期 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$。此处 $\omega =2⟹T=\pi$。

3. 判定奇偶性：因为 $\cos (-2x)=\cos 2x$， 故 $f(-x)=-\frac{1}{2}\cos (-2x)=-\frac{1}{2}\cos 2x=f(x)$，为偶函数。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：对于给定的函数解析式 $f(x)={\sin }^{2}x-\frac{1}{2}$，运用余弦二倍角公式进行降幂恒等变形： 因为 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$， 变形可得 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$。

将此恒等式代入原函数： $f(x)=\frac{1-\cos 2x}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\cos 2x$

下面对化简后的函数解析式进行性质判定：

• 第一步：求最小正周期 函数满足余弦型单弦结构，自变量系数（频率） $\omega =2$。 套用周期计算公式得： $T=\frac{2\pi }{|\omega |}=\frac{2\pi }{2}=\pi$

• 第二步：判定奇偶性 对定义域内任意 $x\in \mathbf{R}$， 计算其负自变量的函数值： $f(-x)=-\frac{1}{2}\cos [2(-x)]=-\frac{1}{2}\cos (-2x)$ 根据余弦函数的天然偶函数轴对称特质（ $\cos (-\theta )=\cos \theta$）： $f(-x)=-\frac{1}{2}\cos 2x=f(x)$ 符合 $f(-x)=f(x)$ 的铁律，故该函数是偶函数。

综上，该函数是最小正周期为 $\pi$ 的偶函数。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦二倍角公式的逆向降幂应用（ ${\sin }^{2}x-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\cos 2x$）、正余弦型函数的周期与对称性。
2. 核心方法：三角函数降幂化简法。
3. 避坑指南：

• 避免直接用原式进行奇偶性判断，平方容易造成直观上的混乱。三角函数凡是遇到二次方项， 第一本能动作永远是利用倍角公式将其“降幂扩角”化为一次方单弦形态，所有的周期和轴、中心性质便一目了然。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于高中数学必修四中三角恒等变换与三角函数性质的交叉点基础训练题。

2. 结论推广: 函数 $y=a{\sin }^{2}x+b$ 或 $y=a{\cos }^{2}x+b$ 的最小正周期恒为 $\pi$，且均为关于 $y$ 轴对称的偶函数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.01 函数的概念