2007-广东卷理-19 解-空间向量求异面直线所成角

本题导读

本题是一道集平面折叠、立体几何体积优化以及异面直线夹角于一体的综合压轴大题。第一问通过折叠前后的垂直不变量，利用面面垂直性质确定四棱锥的高，从而建立体积函数；第二问利用导数求出最大值点；第三问在最大值状态下，通过建立空间直角坐标系求解向量夹角。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(理)） 如图所示，等腰 $△ABC$ 的底边 $AB=6\sqrt{6}$， 高 $CD=3$， 点 $E$ 是线段 $BD$ 上异于点 $B,D$ 的动点， 点 $F$ 在 $BC$ 边上， 且 $EF\perp AB$， 现沿 $EF$ 将 $△BEF$ 折起 到 $△PEF$ 的位置， 使 $PE\perp AC$. 记 $BE=x$，$V(x)$ 表示四棱锥 $P-ACFE$ 的体积.

(1) 求 $V(x)$ 的表达式；

(2) 当 $x$ 为何值时， $V(x)$ 取得最大值？

(3) 当 $V(x)$ 取得最大值时，求异面直线 $AC$ 与 $PF$ 所成角的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：建立体积函数 $V(x)$：

• 折叠前：等腰 $△ABC$ 中 $AB=6\sqrt{6},CD=3⟹BD=3\sqrt{6}$。
• $EF\perp AB⟹△BEF\backsim △BDC⟹\frac{EF}{CD}=\frac{BE}{BD}⟹EF=\frac{x}{3\sqrt{6}}\times 3=\frac{\sqrt{6}}{6}x$。
• 底面四边形 $ACFE$ 的面积： $S_{ACFE}=S_{△ABC}-S_{△BEF}=\frac{1}{2}\times 6\sqrt{6}\times 3-\frac{1}{2}\cdot x\cdot \frac{\sqrt{6}}{6}x=9\sqrt{6}-\frac{\sqrt{6}}{12}{x}^2$。
• 确定高：折叠后 $PE=BE=x$， 且 $PE\perp EF$。已知 $PE\perp AC$， 且 $AC\cap EF\ne \varnothing$ 吗？不， $AC$ 与 $EF$ 是平面的相交线。 通过线面垂直性质可推导出 $PE\perp$ 底面 $ACFE$， 故 $PE=x$ 即为四棱锥的高。
• 体积 $V(x)=\frac{1}{3}{S}_{ACFE}\cdot PE$。

2. 第二问：求导求最值：对 $V(x)$ 进行多项式求导，令导数为 0 锁定极值点。
3. 第三问：建系求异面直线夹角：

• 既然 $PE\perp$ 底面， 以 $E$ 为原点， $EF$ 轴为 $y$ 轴， $EB$（即 $EA$）轴为 $x$ 轴， $EP$ 为 $z$ 轴建立空间直角坐标系。

• 代入最值下的 $x$， 写出 $A,C,P,F$ 的具体坐标， 用向量夹角公式计算。

✅【答案】

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建立空间直角坐标系，使𝐷为原点，𝐴𝐵在𝑥𝑂𝑦平面内，取𝐴(−3√6,0,0),𝐵(3√6,0,0),𝐶(0,3,0).

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）在等腰 $△ABC$ 中， 高 $CD=3$， 底边 $AB=6\sqrt{6}$， 故中点 $D$ 满足 $BD=3\sqrt{6}$。 因为 $EF\perp AB$， 且 $\angle B$ 为公共角， 故直角 $△BEF\backsim \text{直角 }△BDC$。 可得比例关系： $\frac{EF}{CD}=\frac{BE}{BD}⟹\frac{EF}{3}=\frac{x}{3\sqrt{6}}⟹EF=\frac{\sqrt{6}}{6}x$ 底面四边形 $ACFE$ 的面积 $S$ 可通过大三角形减去小三角形阴影求得： $S_{ACFE}=S_{△ABC}-S_{△BEF}=\frac{1}{2}AB\cdot CD-\frac{1}{2}BE\cdot EF$ $=\frac{1}{2}\times 6\sqrt{6}\times 3-\frac{1}{2}\times x\times \frac{\sqrt{6}}{6}x=9\sqrt{6}-\frac{\sqrt{6}}{12}{x}^2$

在折叠过程中，由于 $PE\perp EF$ 且题目要求 $PE\perp AC$。 又在底面平面内部， 显然直线 $EF$ 与 $AC$ 相互相交， 根据线面垂直的判定定理， 侧棱 $PE$ 严格垂直于整个底面平面 $ACFE$。 因此， 四棱锥 $P-ACFE$ 的高即为线段 $PE$ 的长， 长度等于折叠前的 $BE=x$。 套用棱锥体积公式： $V(x)=\frac{1}{3}\cdot S_{ACFE}\cdot PE=\frac{1}{3}\left(9\sqrt{6}-\frac{\sqrt{6}}{12}{x}^2\right)\cdot x=3\sqrt{6}x-\frac{\sqrt{6}}{36}{x}^3$ 由于点 $E$ 是线段 $BD$ 上的异于端点的动点， 故 $x$ 的实际取值范围为 $(0,3\sqrt{6})$。

（2）对体积函数 $V(x)$ 关于 $x$ 展开求导： $V^{\prime }(x)=3\sqrt{6}-\frac{\sqrt{6}}{36}\times 3x^2=3\sqrt{6}-\frac{\sqrt{6}}{12}{x}^2$ 令 $V^{\prime }(x)=0$， 得到： $3\sqrt{6}=\frac{\sqrt{6}}{12}{x}^2⟹x^2=36⟹x=6(\text{因 }x>0)$ 分析导函数符号特征：

• 当 $x\in (0,6)$ 时, $V^{\prime }(x)>0$, 函数 $V(x)$ 单调递增；
• 当 $x\in (6,3\sqrt{6})$ 时, $V^{\prime }(x)<0$, 函数 $V(x)$ 单调递减。 因此，当 $x=6$ 时， 四棱锥的体积 $V(x)$ 截取到唯一的绝对全域最大值。

（3）当 $V(x)$ 取得最大值时， $x=6$。 此时相关线段长度为： $BE=6,EF=\sqrt{6}$。 因为 $PE\perp$ 底面 $ACFE$， 且底面中 $EF\perp AB$， 具备天然的三轴直交条件。 以 $E$ 为空间坐标原点， 射线 $EB$ 反方向（即 $EA$ 方向）为 $x$ 轴正方向， 射线 $EF$ 方向为 $y$ 轴正方向， 射线 $EP$ 方向为 $z$ 轴正方向， 建立空间直角坐标系 $E-xyz$。

依据几何线性长度计算各关键顶点的精确空间坐标：

• $E(0,0,0),P(0,0,6),F(0,\sqrt{6},0)$
• 点 $A$ 的横坐标： $|EA|=|AD|+|DE|=3\sqrt{6}+(3\sqrt{6}-6)=6\sqrt{6}-6$， 故 $A(6\sqrt{6}-6,0,0)$
• 点 $C$ 的坐标可由 $D(3\sqrt{6}-6,0,0)$ 沿 $y$ 轴负向平移高 $CD=3$ 得到： $C(3\sqrt{6}-6,-3,0)$

写出异面直线对应的方向向量坐标： $\overrightarrow{AC}=\left((3\sqrt{6}-6)-(6\sqrt{6}-6),-3-0,0-0\right)=(-3\sqrt{6},-3,0)$ $\overrightarrow{PF}=(0-0,\sqrt{6}-0,0-6)=(0,\sqrt{6},-6)$

计算两方向向量的数量积以及各自的模长： $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{PF}=(-3\sqrt{6})\times 0+(-3)\times \sqrt{6}+0\times (-6)=-3\sqrt{6}$ $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(-3\sqrt{6}{)}^2+(-3{)}^2+0^2}=\sqrt{54+9}=\sqrt{63}=3\sqrt{7}$ $|\overrightarrow{PF}|=\sqrt{0^2+(\sqrt{6}{)}^2+(-6{)}^2}=\sqrt{6+36}=\sqrt{42}$

根据空间向量夹角公式， 计算异面直线 $AC$ 与 $PF$ 所成角的余弦值（异面直线张角范围恒为 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，需加绝对值）： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{PF}|}{|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{PF}|}=\frac{|-3\sqrt{6}|}{3\sqrt{7}\times \sqrt{42}}=\frac{3\sqrt{6}}{3\sqrt{7}\times \sqrt{7}\times \sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{6}}{21\sqrt{6}}=\frac{3}{21}=\frac{1}{7}$

所以，异面直线 $AC$ 与 $PF$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面折叠中不变量转化、利用导数求三次多项式几何体极值、空间向量求解异面直线钝角修正。
2. 核心方法：空间直角坐标系法、单变量求导法。
3. 避坑指南：

• 建立坐标系时，必须要精确算对点 $A$ 和点 $C$ 距离原点 $E$ 的代数步长。因为 $E$ 是一个游离点， $DE=BD-BE=3\sqrt{6}-6$， 算错这步会导致后续向量坐标全盘皆输。
• 最终求解两条直线的几何夹角时， 结果必须强行加上绝对值确保为正数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查空间图形的折叠问题、棱锥的体积公式，是广东卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（射影确定高法（立体几何建模）、空间直角坐标系法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：空间图形的折叠问题、棱锥的体积公式相互关联，解答中综合运用了射影确定高法（立体几何建模）、空间直角坐标系法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I文-18 解-四棱锥垂直二面角
• 2008-大纲卷II文-20 解-正四棱柱垂直二面角
• 2008-天津卷文-19 解-四棱锥垂直与二面角