2007-新课标卷文-19 解-含对数函数的单调性与区间最值

本题导读

本题考查含对数函数的导数。

📌【题干】

Question

（2007年新课标卷(文)） 设函数 $f(x)=\ln (2x+3)+x^2$． （1）讨论 $f(x)$ 的单调性； （2）求 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{3}{4},\frac{1}{4}\right]$ 的最大值和最小值．

🔍【思路分析】

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1. 定义域 $x>-\frac{3}{2}$；导数通分 $f^{\prime }(x)=\frac{2}{2x+3}+2x=\frac{2(2x+1)(x+1)}{2x+3}$，分点 $-1$、$-\frac{1}{2}$ 列表定号。
2. （2）区间内先减后增，最小值在 $x=-\frac{1}{2}$；最大值比较两端点，需证 $f\left(\frac{1}{4}\right)>f\left(-\frac{3}{4}\right)$，即 $\ln \frac{7}{3}>\frac{1}{2}$，用积分放缩 $\ln \frac{7}{3}={\int }_1^{7/3}\frac{dt}{t}>\frac{4}{3}\times \frac{3}{7}=\frac{4}{7}>\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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（1）增区间 $\left(-\frac{3}{2},-1\right)$ 与 $\left(-\frac{1}{2},+\infty \right)$，减区间 $\left(-1,-\frac{1}{2}\right)$；（2）最小值 $\ln 2+\frac{1}{4}$，最大值 $\ln \frac{7}{2}+\frac{1}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

定义域为 $\left(-\frac{3}{2},+\infty \right)$， $f^{\prime }(x)=\frac{2}{2x+3}+2x=\frac{2+2x(2x+3)}{2x+3}=\frac{2(2x+1)(x+1)}{2x+3}.$ （1）在定义域内以 $-1$ 和 $-\frac{1}{2}$ 为分点讨论： $x\in \left(-\frac{3}{2},-1\right)$ 时 $f^{\prime }(x)>0$；$x\in \left(-1,-\frac{1}{2}\right)$ 时 $f^{\prime }(x)<0$；$x\in \left(-\frac{1}{2},+\infty \right)$ 时 $f^{\prime }(x)>0$． 故 $f(x)$ 在 $\left(-\frac{3}{2},-1\right)$ 与 $\left(-\frac{1}{2},+\infty \right)$ 上单调递增，在 $\left(-1,-\frac{1}{2}\right)$ 上单调递减． （2）在 $\left[-\frac{3}{4},\frac{1}{4}\right]$ 上函数先减后增，最小值在 $x=-\frac{1}{2}$ 处：$f\left(-\frac{1}{2}\right)=\ln 2+\frac{1}{4}$． 比较端点：$f\left(-\frac{3}{4}\right)=\ln \frac{3}{2}+\frac{9}{16}$，$f\left(\frac{1}{4}\right)=\ln \frac{7}{2}+\frac{1}{16}$， $f\left(\frac{1}{4}\right)-f\left(-\frac{3}{4}\right)=\ln \frac{7}{3}-\frac{1}{2}.$ 由于 $\ln \frac{7}{3}={\int }_1^{7/3}\frac{1}{t}dt$，被积函数 $\frac{1}{t}$ 在 $\left[1,\frac{7}{3}\right]$ 上单调递减，故 $\ln \frac{7}{3}>\left(\frac{7}{3}-1\right)\times \frac{3}{7}=\frac{4}{7}>\frac{1}{2}$，即 $f\left(\frac{1}{4}\right)>f\left(-\frac{3}{4}\right)$． 所以最大值在 $x=\frac{1}{4}$ 处取得，为 $\ln \frac{7}{2}+\frac{1}{16}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含对数函数的单调性与区间最值

核心方法：导数通分因式分解 + 分点列表定号 + 端点值比较

避坑指南：最大值比较需证 $\ln \frac{7}{3}>\frac{1}{2}$，用积分放缩 $\ln \frac{7}{3}>\frac{4}{7}$；凭近似计算替代证明会被扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数函数与二次项复合的导数讨论是新课标解答题的常见形态。

结论推广：积分放缩：$\ln \frac{b}{a}={\int }_a^b\frac{dt}{t}>(b-a)\cdot \frac{1}{b}$（$0<a<b$）。

方法推广：定义域优先，分点列表，端点比较讲道理不放近似。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.11 对数单身狗与指数找基友

类题演练(Links)

• 2013-新课标I卷文-20 解-导数单调性与极值
• 2010-新课标卷文-21 解-导数单调与恒成立