2007-江苏卷-09 单-比值最值与均值不等式

本题导读

本题考查均值不等式，以及二次函数的恒成立条件。

📌【题干】

Question

（2007年江苏卷） 已知二次函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$ 的导数为 $f^{\prime }(x)$，$f^{\prime }(0)>0$，对于任意实数 $x$ 都有 $f(x)⩾0$，则 $\frac{f(1)}{f^{\prime }(0)}$ 的最小值为 ()

A. $3$　　　　　　　B. $\frac{5}{2}$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $\frac{3}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f^{\prime }(0)=b>0$；恒非负要求 $a>0$ 且判别式 $\Delta ⩽0$，即 $c⩾\frac{b^2}{4a}$。
2. $\frac{f(1)}{f^{\prime }(0)}=\frac{a+b+c}{b}$，代入 $c$ 的下界。
3. 令 $t=\frac{a}{b}>0$，用均值不等式 $t+\frac{1}{4t}⩾1$，取等 $t=\frac{1}{2}$；再用 $a=1,b=2,c=1$ 验证可取到。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

由 $f^{\prime }(0)=b>0$，且二次函数在实数集上恒有 $f(x)⩾0$，可知 $a>0$，并且 $c⩾\frac{b^2}{4a}$． 因此 $\frac{f(1)}{f^{\prime }(0)}=\frac{a+b+c}{b}⩾\frac{a+b+\frac{b^2}{4a}}{b}=\frac{a}{b}+1+\frac{b}{4a}.$ 令 $t=\frac{a}{b}>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{4a}=t+\frac{1}{4t}⩾1,$ 其中等号在 $t=\frac{1}{2}$ 时成立．所以 $\frac{f(1)}{f^{\prime }(0)}⩾2.$ 取 $a=1$，$b=2$，$c=1$ 时，$f(x)=(x+1{)}^2$，且比值等于 $2$，故最小值为 $2$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：比值最值与均值不等式

核心方法：恒成立条件给出参数约束再配凑均值

避坑指南：恒非负给出 c≥b²/4a（判别式≤0），这一步是下界的来源；配凑成 t+1/(4t)+1 后均值取等 t=1/2，还要回代具体 a,b,c 验证可取

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”基本不等式”与二次函数

结论推广：二次函数恒非负 ⟺ 开口向上且 Δ≤0

方法推广：“比值型”最值：把分子分母都用同一组参数表示，化成单变量再均值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练(Links)

• 2010-安徽卷文-15 填-基本不等式多命题
• 2010-天津卷文-16 填-恒成立求参
• 2010-四川卷文-05 单-二次函数对称充要