2007-江苏卷-15 填-椭圆焦点三角形

本题导读

本题考查椭圆的定义，以及正弦定理。

📌【题干】

Question

（2007年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知 $△ABC$ 顶点 $A(-4,0)$ 和 $C(4,0)$，顶点 $B$ 在椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ 上，则 $\frac{\sin A+\sin C}{\sin B}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 椭圆 $a=5$，$c=\sqrt{25-9}=4$，两焦点恰为 $A(-4,0)$、$C(4,0)$。
2. 椭圆定义：$AB+BC=2a=10$；$AC=8$。
3. 正弦定理把角之比化为边之比：$\frac{\sin A+\sin C}{\sin B}=\frac{BC+AB}{AC}$。

✅【答案】

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$\frac{5}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ 的长半轴为 $5$，焦半距满足 $c=\sqrt{25-9}=4.$ 所以椭圆的两个焦点正是 $A(-4,0)$ 和 $C(4,0)$．对椭圆上任意点 $B$，有 $AB+BC=2\times 5=10.$ 在三角形 $ABC$ 中设外接圆半径为 $R$，由正弦定理得 $\sin A=\frac{BC}{2R}$，$\sin C=\frac{AB}{2R}$，$\sin B=\frac{AC}{2R}$．又 $AC=8$，所以 $\frac{\sin A+\sin C}{\sin B}=\frac{AB+BC}{AC}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆焦点三角形

核心方法：识别 A、C 为焦点，用定义+正弦定理

避坑指南：A(−4,0)、C(4,0) 恰是椭圆焦点是本题题眼；(sinA+sinC)/sinB 按正弦定理化成 (BC+AB)/AC，再用椭圆定义 AB+BC=2a

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆定义与正弦定理

结论推广：椭圆上任一点与两焦点构成的三角形周长为 2a+2c

方法推广：三角形顶点在椭圆上且两端点是特殊点时，先验证是否为焦点，能用定义就用定义

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 11.01 正弦定理

类题演练(Links)

• 2010-上海卷文-18 单-正余弦定理判形状
• 2010-上海卷文-23 解-椭圆向量与中点弦
• 2011-北京卷文-19 解-椭圆等腰三角形面积