2007-江西卷理-19 解-期望线性性质

本题导读

本题考查相互独立事件的概率计算及离散型随机变量的期望。第一问通过对甲、乙、丙三件产品“恰有一件合格”进行互斥事件拆分求解；第二问通过定义每件产品最终合格的独立概率，利用随机变量的拆分法或分布列求出总合格数 $\xi$ 的数学期望。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(理)） 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程中必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立. 根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.5, 0.6, 0.4. 经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.6, 0.5, 0.75.

(1) 求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；

(2) 经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为 $\xi$，求随机变量 $\xi$ 的期望.

🔍【思路分析】

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1. 基本事件概率提炼：

• 设第一次烧制中，甲、乙、丙合格的事件分别为 $A_1,B_1,C_1$，概率分别为 $P(A_1)=0.5,P(B_1)=0.6,P(C_1)=0.4$。
• 设在第一次合格的前提下，第二次烧制中甲、乙、丙合格的事件分别为 $A_2,B_2,C_2$，条件概率分别为 $P(A_2|A_1)=0.6,P(B_2|B_1)=0.5,P(C_2|C_1)=0.75$。

2. 第一问：“恰有一件合格”包含三种互斥情况：仅甲增、仅乙增、仅丙增。利用独立事件概率公式求和。
3. 第二问（极简解法：期望的线性性质）：

• 一件工艺品最终合格，必须满足两次烧制都合格。

• 分别计算甲、乙、丙最终合格的概率 $P(\text{甲}),P(\text{乙}),P(\text{丙})$。

• 引入各工艺品是否合格的 0-1 分布随机变量 ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$，则 $\xi ={\xi }_1+{\xi }_2+{\xi }_3$。根据 $E(\xi )=E({\xi }_1)+E({\xi }_2)+E({\xi }_3)$ 直接求和。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）记第一次烧制后，甲、乙、丙产品合格的事件分别为 $A_1,B_1,C_1$。 则对应的对立事件（不合格）概率分别为： $P({\bar{A}}_1)=1-0.5=0.5,P({\bar{B}}_1)=1-0.6=0.4,P({\bar{C}}_1)=1-0.4=0.6$

设事件 $M$ 为“第一次烧制后恰有一件产品合格”，其由三个互斥事件组合而成： $P(M)=P(A_1{\bar{B}}_1{\bar{C}}_1)+P({\bar{A}}_1{B}_1{\bar{C}}_1)+P({\bar{A}}_1{\bar{B}}_1{C}_1)$ 由于各事件相互独立，利用乘法公式展开： $P(M)=0.5\times 0.4\times 0.6+0.5\times 0.6\times 0.6+0.5\times 0.4\times 0.4$ $P(M)=0.12+0.18+0.08=0.38$ 所以， 第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为 0.38。

（2）一件工艺品最终成为合格工艺品， 必须且只需满足前后两次烧制均合格。 记甲、乙、丙工艺品最终合格的事件分别为 $A,B,C$。由于两次烧制相互独立， 其概率分别为：

• 甲最终合格的概率： $P(A)=0.5\times 0.6=0.3$
• 乙最终合格的概率： $P(B)=0.6\times 0.5=0.3$
• 丙最终合格的概率： $P(C)=0.4\times 0.75=0.3$

设 ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$ 分别表示甲、乙、丙工艺品最终是否合格的 0-1 随机变量。即： ${\xi }_i=\{\begin{array}{l}1,\text{该工艺品合格}\\ 0,\text{该工艺品不合格}\end{array}$ 显然， 它们各自的数学期望等于其最终合格的概率： $E({\xi }_1)=P(A)=0.3,E({\xi }_2)=P(B)=0.3,E({\xi }_3)=P(C)=0.3$

经过前后两次烧制后， 合格工艺品的总件数 $\xi$ 满足线性可加关系： $\xi ={\xi }_1+{\xi }_2+{\xi }_3$ 根据数学期望的线性性质（对于任意随机变量， 无论是否相互独立， 和的期望均等于期望的和）： $E(\xi )=E({\xi }_1)+E({\xi }_2)+E({\xi }_3)$ $E(\xi )=0.3+0.3+0.3=0.9$

所以， 随机变量 $\xi$ 的数学期望为 0.9。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立重复/分步试验的乘法公式、数学期望的线性性质（定义法与独立拆分法）。
2. 避坑指南：

• 第二问如果采用常规的列出 $\xi =0,1,2,3$ 的完整分布列来求期望，需要计算 4 组复杂的组合式概率（如 $P(\xi =1)=0.3\times 0.7\times 0.7\times 3\dots$ 等），计算量极大且容易发生因数漏乘。强烈推荐使用 0-1 变量拆分法，直接避开繁琐的分布列计算， 2 行公式直击正确答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查相互独立事件的概率乘法公式、离散型随机变量的分布列与数学期望，是江西卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（分类讨论与事件拆分法、随机变量拆分法（独立贡献求期望））可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：相互独立事件的概率乘法公式、离散型随机变量的分布列与数学期望相互关联，解答中综合运用了分类讨论与事件拆分法、随机变量拆分法（独立贡献求期望），建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I理-20 解-古典概型
• 2008-天津卷理-18 解-分布列
• 2008-江西卷理-18 解-分布列