2007-浙江卷理-02 单-三角函数求值

本题导读

本题考查正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图象与性质。核心意图在于利用周期公式确定频率 $\omega$，再通过特殊点截距值结合初相范围确定 $\phi$。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(理)） 若函数 $f(x)=2\sin (\omega x+\phi ),x\in \mathbf{R}$（其中 $\omega >0,|\phi |<\frac{\pi }{2}$）的最小正周期是 $\pi$，且 $f(0)=\sqrt{3}$，则()

A. $\omega =\frac{1}{2},\phi =\frac{\pi }{6}$　　B. $\omega =\frac{1}{2},\phi =\frac{\pi }{3}$　　C. $\omega =2,\phi =\frac{\pi }{6}$　　D. $\omega =2,\phi =\frac{\pi }{3}$

🔍【思路分析】

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1. 根据最小正周期 $T=\pi$，利用公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 直接求出 $\omega$ 的值；
2. 将 $x=0$ 代入解析式，结合 $f(0)=\sqrt{3}$ 建立关于 $\phi$ 的三角方程，利用范围 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$ 锁定唯一的初相。

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$\omega =2,\phi =\frac{\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 因为函数 $f(x)=2\sin (\omega x+\phi )$ 的最小正周期是 $\pi$，且 $\omega >0$， 所以： $T=\frac{2\pi }{\omega }=\pi ⟹\omega =2$ （可排除 A、B 选项）。

又因为 $f(0)=\sqrt{3}$，将 $x=0$ 和 $\omega =2$ 代入解析式得： $2\sin (2\times 0+\phi )=\sqrt{3}⟹2\sin \phi =\sqrt{3}⟹\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$ 已知 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$，即 $\phi \in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$。 在该范围内，满足 $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的角只有 $\phi =\frac{\pi }{3}$。 综上所述，$\omega =2,\phi =\frac{\pi }{3}$。 故选 (D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数周期公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 的应用，初相 $\phi$ 的求法。
2. 核心方法：待定系数法。利用性质条件逐步确定解析式中的未知参数。
3. 避坑指南：解 $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，若不注意 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$ 的限制，易错写出 $\frac{2\pi }{3}$ 等其他象限的干扰解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于三角函数性质的核心常考小题，源自教材中“根据图象或性质确定 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 解析式”这一经典内容的直接提炼。
2. 结论推广：确定初相 $\phi$ 时，通常利用“五点作图法”中的特殊起点、最高点，或直接代入 $y$ 轴截距点，结合已知开区间做精确裁剪。

🔗【关联脉络】

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• 07.03 三角函数的图象与性质