2007-浙江卷理-03 单-平面解析几何中轴对称

本题导读

本题考查平面解析几何中直线关于已知直线对称的方程求解。考查重点在于熟练掌握关于垂直于坐标轴的特殊直线 $x=x_0$ 对称的点坐标转换规律。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(理)） 直线 $x-2y+1=0$ 关于直线 $x=1$ 对称的直线方程是()

A. $x+2y-1=0$　　　　　　　　　　　　　B. $2x+y-1=0$

C. $2x+y-3=0$　　　　　　　　　　　　　D. $x+2y-3=0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设所求对称直线上任意一点的坐标为 $(x,y)$，其关于直线 $x=1$ 的对称点必在已知直线 $x-2y+1=0$ 上；
2. 利用中点坐标公式写出两对称点横坐标的关系：$x_{old}+x_{new}=2\times 1$，而纵坐标保持不变（$y_{old}=y_{new}$）；
3. 将含有新坐标的表达式代入原直线方程，化简即可得到对称直线方程。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解： 设所求直线上任意一点的坐标为 $P(x,y)$，它关于直线 $x=1$ 对称的点为 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$。 根据对称的几何性质，点 $P$ 与点 $P^{\prime }$ 的中点在直线 $x=1$ 上，且两点的纵坐标相等。 由此可得坐标转换公式： $\{\begin{array}{l}\frac{x+x^{\prime }}{2}=1⟹x^{\prime }=2-x\\ y^{\prime }=y\end{array}$ 因为点 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$ 在已知直线 $x-2y+1=0$ 上，将转换公式代入该方程得： $(2-x)-2y+1=0$ 化简整理： $3-x-2y=0⟹x+2y-3=0$ 故所求的对称直线方程为 $x+2y-3=0$。 故选 (D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：曲线的轴对称变换。点 $(x,y)$ 关于直线 $x=a$ 对称的点坐标为 $(2a-x,y)$。
2. 核心方法：相关点代入法。利用对称关系用新点表达旧点，代入旧曲线方程求解新曲线方程。
3. 避坑指南：容易混淆横纵坐标的对称变换律，误认为关于 $x=1$ 对称要把 $y$ 变成 $2-y$。只需记住：关于 $x$ 的常数线对称，只变 $x$， $y$ 保持不动。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于平面解析几何中点、线对称的经典题目，源于教材中直线的相关位置关系及坐标变换的基本运用。
2. 结论推广：一般地，任意曲线 $F(x,y)=0$ 关于直线 $x=a$ 对称的曲线方程为 $F(2a-x,y)=0$；关于直线 $y=b$ 对称的曲线方程为 $F(x,2b-y)=0$。

🔗【关联脉络】

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