2007-浙江卷理-07 单-向量数量积代数化变形

本题导读

本题是一道考查平面向量模长不等式关系的辨析题。核心考查将已知的模长相等几何条件转化为向量数量积的代数关系，进而通过平方作差法对各个选项中的不等式做出精确判断。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(理)） 若非零向量 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 满足 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{b}|$，则()

A. $|2\mathbf{a}|>|2\mathbf{a}+\mathbf{b}|$　　　　　　　　　　　　B. $|2\mathbf{a}|<|2\mathbf{a}+\mathbf{b}|$

C. $|2\mathbf{b}|>|\mathbf{a}+2\mathbf{b}|$　　　　　　　　　　　　D. $|2\mathbf{b}|<|\mathbf{a}+2\mathbf{b}|$

🔍【思路分析】

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1. 对已知等式 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{b}|$ 两边进行平方展开，求得数量积 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 与 ${\mathbf{a}}^2$（即 $|\mathbf{a}{|}^2$）之间的核心等量关系；
2. 采用“平方作差法”分别对比选项中不等式两边的模长平方，将前面求得的关系代入消元，判定差值的正负号。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解： 对已知等式 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{b}|$ 两边平方得： $(\mathbf{a}+\mathbf{b}{)}^2={\mathbf{b}}^2⟹{\mathbf{a}}^2+2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+{\mathbf{b}}^2={\mathbf{b}}^2$ 化简得： $2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=-{\mathbf{a}}^2\text{即}4\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=-2{\mathbf{a}}^2\text{(1)}$

比较 $|2\mathbf{b}|$ 与 $|\mathbf{a}+2\mathbf{b}|$ 的大小： 对其进行平方作差： $|2\mathbf{b}{|}^2-|\mathbf{a}+2\mathbf{b}{|}^2=4{\mathbf{b}}^2-(\mathbf{a}+2\mathbf{b}{)}^2$ $=4{\mathbf{b}}^2-({\mathbf{a}}^2+4\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+4{\mathbf{b}}^2)=-{\mathbf{a}}^2-4\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 将①式 $4\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=-2{\mathbf{a}}^2$ 代入上式： $|2\mathbf{b}{|}^2-|\mathbf{a}+2\mathbf{b}{|}^2=-{\mathbf{a}}^2-(-2{\mathbf{a}}^2)={\mathbf{a}}^2$ 因为 $\mathbf{a}$ 是非零向量，所以 ${\mathbf{a}}^2=|\mathbf{a}{|}^2>0$。 从而得到： $|2\mathbf{b}{|}^2-|\mathbf{a}+2\mathbf{b}{|}^2>0⟹|2\mathbf{b}{|}^2>|\mathbf{a}+2\mathbf{b}{|}^2$ 因为模长均为正数，开方得： $|2\mathbf{b}|>|\mathbf{a}+2\mathbf{b}|$ 故选 (C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量模长公式 $|\mathbf{x}{|}^2={\mathbf{x}}^2$，向量数量积运算律。
2. 核心方法：平方代换法。比较向量模长大小通常不直接开方，而是通过比较它们的平方值。
3. 避坑指南：

• 展开 $(\mathbf{a}+2\mathbf{b}{)}^2$ 时，中间项是 $4\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 而非 $2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$，需注意系数准确。
• 不要盲目主观代入特殊垂直或平行方向，直接利用纯代数恒等消元能够保证结果全域有效。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于平面向量模长不等式的经典代数交汇题，源自教材中向量数量积性质的延伸思考。
2. 结论推广：在几何上， $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{b}|$ 代表以 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为邻边构造的平行四边形中，一条对角线长等于其中一条边长，这说明该平行四边形的这一半是一个等腰三角形。利用此几何三角形的长边、短边关系，亦可定性直观判断出正确选项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-13 填-同角三角函数
• 2018-全国卷II理-13 填-导数几何意义