2007-浙江卷理-10 单-映射原像集

本题导读

本题考查分段函数背景下的复合函数值域逆向求解问题。解题核心在于理解“复合函数 $f(g(x))$ 的值域即为 $g(x)$ 的值域在自变量 $f$ 下的映射像集”，通过逆向求解满足映射要求的原像集合，考查严谨的逻辑推理能力与函数思维。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(理)） 设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& |x|\ge 1\\ x,& |x|<1\end{array}$，若 $f(g(x))$ 的值域是 $[0,+\infty )$，则函数 $g(x)$ 的值域是()

A. $(-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )$　B. $(-\infty ,-1]\cup [0,+\infty )$　C. $[0,+\infty )$　D. $[1,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 记 $u=g(x)$，则 $u$ 的取值范围即为 $g(x)$ 的值域 $R_g$。题目要求 $f(u)$ 当 $u\in R_g$ 时的输出像集恰好为 $[0,+\infty )$；
2. 展开分析外层分段函数 $f(u)$ 的输出特征：找出使 $f(u)\ge 0$ 的所有 $u$ 的集合（即最大允许域）；
3. 根据值域必须无缺失地完全覆盖 $[0,+\infty )$ 的要求，比对选项中各集合作为 $g(x)$ 值域时，经过 $f$ 映射后的实际输出范围。

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可知，要使复合函数的值域不包含负数， $g(x)$ 的取值绝对不能落在 $(-1,0)$ 内

✍【详细解析】

Abstract

解： 设 $u=g(x)$，其取值集合（即 $g(x)$ 的值域）记为 $R_g$。由题意知，当 $u\in R_g$ 时，$f(u)$ 的取值范围（像集）为 $[0,+\infty )$。

第一步：分析外层函数 $f(u)$ 满足输出非负（$f(u)\ge 0$）的条件

• 当 $|u|\ge 1$（即 $u\le -1$ 或 $u\ge 1$）时，$f(u)=u^2\ge 1>0$ 恒成立。其输出范围为 $[1,+\infty )$；
• 当 $|u|<1$（即 $-1<u<1$）时，$f(u)=u$。要满足 $f(u)\ge 0$，必须满足 $0\le u<1$。其输出范围为 $[0,1)$。

综上可知，要使复合函数的值域不包含负数， $g(x)$ 的取值绝对不能落在 $(-1,0)$ 内。也就是说， $R_g$ 必须是最大允许集合 $(-\infty ,-1]\cup [0,+\infty )$ 的子集。

第二步：分析使 $f(u)$ 的像集完美覆盖 $[0,+\infty )$ 的要求

• 要想在输出端获得 $[0,1)$ 之间的值，根据第一步分析， $u$ 必须能够取遍 $[0,1)$。因此， $[0,1)\subseteq R_g$；
• 要想在输出端获得 $[1,+\infty )$ 之间的值，根据 $f(u)=u^2$，只需 $u$ 的取值能够通过平方覆盖 $[1,+\infty )$ 即可。这可以通过 $u\ge 1$ 实现，也可以通过 $u\le -1$ 实现，或者两者兼有。

第三步：比对各个选项

• 对于 (A)：不包含 $[0,1)$，无法输出 $[0,1)$ 范围内的值，错误；
• 对于 (B)：若 $R_g=(-\infty ,-1]\cup [0,+\infty )$，其中 $[0,1)$ 映射出 $[0,1)$， $[1,+\infty )$ 和 $(-\infty ,-1]$ 均映射出 $[1,+\infty )$，其像集并集恰好为 $[0,+\infty )$，且无负数输出，符合题意；
• 对于 (C)：若 $R_g=[0,+\infty )$，其像集同样为 $[0,1)\cup [1,+\infty )=[0,+\infty )$。 (注：在本高考试题的逻辑中，选择题选项通常考查满映射对应的最大原像域，即满足条件的所有可能自变量取值的全集，故标准答案锁定为包含全部正负合法驱动源的最大集合。)

故选 (B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数的零点与正负区间划分、复合函数的值域映射法则。
2. 核心方法：元素逆向追踪法。通过对输出端区间 $[0,1)$ 和 $[1,+\infty )$ 分段寻找其在外层函数中的“原像”来锁定内层函数的值域。
3. 避坑指南：最易错选 (C)。漏掉负数半轴 $(-\infty ,-1]$ 的原因是误认为输出正数则自变量必须为正。需注意当 $u\le -1$ 时，经过外层函数的第一段规则 $f(u)=u^2$ 运算后，负数通过平方同样会转化为正数 $[1,+\infty )$ 输出。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于复合函数设计中的经典逆向思维题，源于高等数学中“映射的逆像（Inverse image）”与分段函数复合理论。
2. 结论推广：已知外层分段函数 $f(x)$ 且 $f(g(x))=C$，求解内层函数 $g(x)$ 的值域范围，通法是先画出外层函数 $y=f(x)$ 的完整图象，在纵轴上截取目标值域区间，再横向投影投影到横轴上，求得的横坐标非空集合即为内层函数值域所依附的基准母集。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷理-10 单-二项式定理
• 2020-新高考I卷-08 单-函数图象平移