2007-浙江卷理-12 填-三角函数在不同象限符号判定

本题导读

本题考查同角三角函数关系与二倍角公式的综合应用。核心意图在于利用平方关系求出二倍角正弦值，再结合角范围严格判定二倍角余弦值的正负号，考查逻辑推理的严谨度。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(理)） 已知 $\sin \theta +\cos \theta =\frac{1}{5}$，且 $\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{3\pi }{4}$，则 $\cos 2\theta$ 的值是$\underline{}$。

🔍【思路分析】

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1. 将已知等式两边平方，利用 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 求出 $2\sin \theta \cos \theta$（即 $\sin 2\theta$）的值；
2. 由 $\theta$ 的范围求出 $2\theta$ 的范围，判定 $\cos 2\theta$ 的代数符号；
3. 利用同角平方关系 $\cos 2\theta =\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}2\theta }$ 结合符号计算得出答案。

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$-\frac{7}{25}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 将 $\sin \theta +\cos \theta =\frac{1}{5}$ 两边平方得： $(\sin \theta +\cos \theta {)}^2={\left(\frac{1}{5}\right)}^2⟹{\sin }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta =\frac{1}{25}$ 因为 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$，所以： $1+\sin 2\theta =\frac{1}{25}⟹\sin 2\theta =-\frac{24}{25}$

因为 $\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{3\pi }{4}$， 两边同乘以 2 得二倍角的取值范围： $\pi \le 2\theta \le \frac{3\pi }{2}$ 这说明角 $2\theta$ 落在第三象限（包含边界 $\pi$）。 在第三象限内，余弦值恒为负，即 $\cos 2\theta \le 0$。 根据同角三角函数平方关系： $\cos 2\theta =-\sqrt{1-{\sin }^{2}2\theta }=-\sqrt{1-{\left(-\frac{24}{25}\right)}^2}=-\sqrt{1-\frac{576}{625}}=-\sqrt{\frac{49}{625}}=-\frac{7}{25}$ 故答案为 $-\frac{7}{25}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角正弦公式 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$，同角三角函数关系 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查三角函数的给值求值，是高中数学经典的基础题，改编自教材“两角和与差的三角公式”后的综合复习题。
2. 结论推广：已知 $\sin \theta \pm \cos \theta =m$，必有 $\sin 2\theta =m^2-1$。此时，可进一步通过 $\cos 2\theta =(\cos \theta -\sin \theta )(\cos \theta +\sin \theta )$ 配合齐次式或方程组思想求解全套三角函数值。

🔗【关联脉络】

Multi column

3. 避坑指南：最易错点在于忽略角范围对符号的限制。通过 $\cos 2\theta =\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}2\theta }$ 开方时，如果不通过 $2\theta \in [\pi ,\frac{3\pi }{2}]$ 确定其为负值，极易错填正值 $\frac{7}{25}$。