2007-浙江卷理-14 填-不定方程整数解

本题导读

本题是一道带有实际应用背景的排列组合题。核心考查利用分类加法计数原理解决限额消费的杂志购买方案。解题切入点在于通过总金额限制建立二元一次不定方程，通过限定变量范围分类计数，侧重考查离散数学思维和严谨的分步求解能力。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(理)） 某书店有 11 种杂志，2 元 1 本的 8 种，1 元 1 本的 3 种。小张用 10 元钱买杂志（每种至多买一本，10 元钱刚好用完），则不同买法的种数是$\underline{}$。（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设小张购买 2 元 1 本的杂志 $x$ 本，购买 1 元 1 本的杂志 $y$ 本；
2. 根据“总金额刚好为 10 元”建立不定方程 $2x+y=10$。结合已有杂志的总数量限制确定 $x$ 与 $y$ 的取值范围： $0\le x\le 8$ 且 $0\le y\le 3$ ($x,y\in \mathbf{Z}$)；
3. 找出所有合法的整数解组合 $(x,y)$，对每种组合利用组合数 ${\mathrm{C}}_8^x\cdot {\mathrm{C}}_3^y$ 分别计算方案数，最后由加法原理求和。

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266

✍【详细解析】

Abstract

解： 设购买 2 元一盒的杂志 $x$ 本，1 元一盒的杂志 $y$ 本。 根据题意，可列出总价方程： $2x+y=10$ 由于每种杂志至多买一本，且书店里 2 元的仅有 8 种，1 元的仅有 3 种，所以未知数需满足约束： $x,y\in \mathbf{Z},0\le x\le 8,0\le y\le 3$

由 $y=10-2x$ 且 $0\le y\le 3$，代入范围得： $0\le 10-2x\le 3⟹7\le 2x\le 10⟹3.5\le x\le 5$ 因为 $x$ 必须为整数，所以 $x$ 的可能取值只能是 $4$ 或 $5$。

下面分两类情况进行讨论计数： 第一类情况：$x=5$ 此时 $y=10-2\times 5=0$。即买 5 本 2 元的，0 本 1 元的。 方法数为从 8 种 2 元中选 5 种，从 3 种 1 元中选 0 种： $N_1={\mathrm{C}}_8^5\cdot {\mathrm{C}}_3^0={\mathrm{C}}_8^3\cdot 1=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=56\text{ 种}$

第二类情况：$x=4$ 此时 $y=10-2\times 4=2$。即买 4 本 2 元的，2 本 1 元的。 方法数为从 8 种 2 元中选 4 种，从 3 种 1 元中选 2 种： $N_2={\mathrm{C}}_8^4\cdot {\mathrm{C}}_3^2=\frac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}\times 3=70\times 3=210\text{ 种}$

根据分类加法计数原理，不同买法的总种数为： $N=N_1+N_2=56+210=266\text{ 种}$ 故答案为 266。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两个计数原理的综合运用，组合数的实际应用模型。
2. 核心方法：方程边界限制分类法。
3. 避坑指南：

• 易错点在于盲目列举 $2x+y=10$ 的解，如 $(x=3,y=4)$ 或 $(x=2,y=6)$，忽略了“1元杂志只有3种”这一核心上限要求（即 $y\le 3$），导致算出了不存在的组合。
• 分类算完后，最后一步是加法原理（$56+210$），切勿粗心做成乘法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题将初等数论中的不定方程整数解与组合计数交叉结合，是高考中考查基础逻辑思维和分类严谨性的典型中档小题。
2. 结论推广：解决带有限制上限的背包或定额消费组合计数问题，最有效的方法是通过面值较大项（本题为2元项）作为主动元进行截断遍历，其取值范围可由较小项的上限直接夹逼得出，能有效缩减分类项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2012-大纲卷理-11 单-计数
• 2019-全国卷I理-15 填-独立重复试验