2007-浙江卷理-17 填-圆方程性质

本题导读

本题将二元一次不等式组确定的平面可行域与圆内部区域的集合包含关系相结合。解题核心在于利用数形结合思想，将“集合包含”转化为“一个三角形可行域完全被包裹在一个闭圆盘内部”，通过分析边界线交汇顶点的临界位置，确立未知参数 $m$ 的取值范围。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(理)） 设 $m$ 为实数，若 $\left\{(x,y)|\{\begin{array}{l}x-2y+5\ge 0\\ 3-x\ge 0\\ mx+y\ge 0\end{array}\right\}\subseteq \left\{(x,y)|x^2+y^2\le 25\right\}$，则 $m$ 的取值范围是$\underline{}$。

🔍【思路分析】

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1. 分析大集合： $x^2+y^2\le 25$ 表示以原点 $O(0,0)$ 为圆心，半径 $R=5$ 的圆面内部及边界；
2. 分析小集合的固定边界：直线 $l_1:x-2y+5=0$ 与 $l_2:x=3$ 相交于点 $A(3,4)$。检查发现 $3^2+4^2=25$，即顶点 $A$ 恰好在圆周上；
3. 动边界直线 $l_3:mx+y=0$ 恒过原点 $O(0,0)$。小集合代表的可行域必须完全在圆内。由于 $A$ 已在圆上，可行域的其他顶点（ $l_3$ 与 $l_1$, $l_2$ 的交点）必须在圆内或圆周上，且整个区域不能向外无限延伸；
4. 通过旋转过原点的动直线 $mx+y=0$，寻找使其截断后的图形完全落入圆内的临界斜率位置。

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实数 $m$ 的取值范围是 $\left[0,\frac{4}{3}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

解： 记小集合对应的平面区域为 $D$，大集合对应的圆面区域为 $\Omega$。题目要求 $D\subseteq \Omega$。 圆 $\Omega :x^2+y^2\le 25$ 的边界为圆周，半径 $R=5$。

第一步：分析固定边界及特征点 区域 $D$ 的前两个线性约束为： $l_1:x-2y+5=0⟹y=\frac{x+5}{2}$ $l_2:x=3$ 两直线联立解得交点为 $A(3,4)$。 将 $A(3,4)$ 代入圆方程： $3^2+4^2=25$。这说明顶点 $A$ 恰好位于圆周上。 直线 $l_1$ 与圆周的另一个交点：联立 $\{\begin{array}{l}x-2y+5=0\\ x^2+y^2=25\end{array}⟹(2y-5{)}^2+y^2=25⟹5y^2-20y=0$。 解得 $y=4$（对应点 $A$）或 $y=0$（对应点 $B(-5,0)$）。即直线 $l_1$ 与圆相交形成的弦为 $AB$。 直线 $l_2:x=3$ 与圆周的交点为 $A(3,4)$ 和 $C(3,-4)$。

由 $x-2y+5\ge 0$ 且 $x\le 3$ 构成的可行域是一个以 $A(3,4)$ 为顶点，向左下方无限延伸的角形区域。

第二步：引入动边界 $l_3$ 进行截断分析 动直线 $l_3:mx+y=0⟹y=-mx$，是一条恒过原点 $O(0,0)$ 且斜率为 $-m$ 的直线。 约束条件 $mx+y\ge 0⟹y\ge -mx$ 表示直线 $l_3$ 上方的半平面。 为了让无限区域 $D$ 被截断成一个完全包裹在圆 $\Omega$ 内部的有界多边形，直线 $y=-mx$ 必须对左下方的无限延伸面进行有效拦截。

结合图象，动直线 $y=-mx$ 的旋转可行边界由原点 $O$ 与圆周上两个关键交点 $B(-5,0)$、 $C(3,-4)$ 的连线决定：

1. 下临界状态：当直线 $y=-mx$ 经过点 $B(-5,0)$ 时，代入得： $0=-m\times (-5)⟹m=0$ 此时直线为 $y=0$（ $x$ 轴），区域 $y\ge 0$ 与固定边界在圆内围成三角形 $AB(3,0)$，所有顶点均在圆内或圆上，满足条件。
2. 上临界状态：当直线 $y=-mx$ 经过点 $C(3,-4)$ 时，代入得： $-4=-m\times 3⟹m=\frac{4}{3}$ 此时直线为 $y=-\frac{4}{3}x$，区域 $y\ge -\frac{4}{3}x$ 与固定边界在圆内围成多边形，其在 $x=3$ 上的交点恰为圆周上的 $C(3,-4)$，满足条件。

当 $m$ 在 $0$ 到 $\frac{4}{3}$ 之间变化时，直线 $y=-mx$ 的斜率 $-m$ 在 $-\frac{4}{3}$ 到 $0$ 之间，动直线在第四和第二象限平稳旋转，其切分出的小区域 $D$ 的所有顶点均保持在圆内或圆周上（弦 $AB$ 与弦 $AC$ 内部），区域始终不越出圆外。

若 $m<0$，直线斜率为正，区域将向左下方（第三象限）无限延伸，无法包含于闭圆内； 若 $m>\frac{4}{3}$，直线在 $x=3$ 上的交点纵坐标将小于 $-4$，滑出圆外。

综上所述，实数 $m$ 的取值范围是 $\left[0,\frac{4}{3}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划可行域的几何作图、集合包含关系向几何图形完全嵌入（凸包覆盖）的转化。
2. 核心方法：数形结合法与边界点限制法。利用圆周上的特殊交点 $B,C$ 确定动直线系斜率的临界极值。
3. 避坑指南：

• 必须先检验核心交点 $A(3,4)$ 与圆的位置关系。发现其刚好在圆周上是简化后续所有定性旋转分析的基础。
• 设直线方程时注意题目给出的是 $mx+y=0⟹\text{斜率为}-m$，在最后由斜率范围 $[-4/3,0]$ 反推 $m$ 的范围时，极易因忽略负号而将范围错写成 $[-4/3,0]$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于二元一次不等式组的高端变形题，将传统的求线性目标函数最值，提升为考查可行域图形本身的几何形态与有界容器闭包的包含判定。
2. 结论推广：处理平面区域 $D\subseteq \text{圆 }C$ 的问题，若区域 $D$ 是凸多边形，则该命题成立的充要条件是：多边形 $D$ 的每一个顶点的坐标都必须满足圆的方程不等式。通过解出所有含参顶点坐标并令其模长 $\le R$，即可通过纯代数方法精确求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 17.01 圆的方程与圆系理论