2007-浙江卷理-18 解-三角方程求角

本题导读

本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式在解三角形中的综合应用。第一问通过正弦定理进行边角互化，联立周长方程求出未知边的长度；第二问利用面积公式和余弦定理求出夹角的余弦值，从而精确确定角的度数，旨在考查基本的代数变形与运算求解能力。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(理)） 已知 $△ABC$ 的周长为 $\sqrt{2}+1$，且 $\sin A+\sin B=\sqrt{2}\sin C$。

(1) 求边 $AB$ 的长；

(2) 若 $△ABC$ 的面积为 $\frac{1}{6}\sin C$，求角 $C$ 的度数。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对于(1)，应用正弦定理将已知角的关系 $\sin A+\sin B=\sqrt{2}\sin C$ 转化为边的关系 $a+b=\sqrt{2}c$，代入周长公式 $a+b+c=\sqrt{2}+1$ 中直接消元求出边 $c$（即 $AB$）的长度；
2. 对于(2)，利用三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ 与已知条件联立求出两边乘积 $ab$ 的值。再结合第一问求得的 $c=1$ 与 $a+b=\sqrt{2}$，利用余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 建立关于 $\cos C$ 的方程，从而确定角 $C$ 的度数。

✅【答案】

点击查看答案

所以cos 𝐶= 12

✍【详细解析】

Abstract

解： (1) 设 $△ABC$ 的三边 $BC,CA,AB$ 的长分别为 $a,b,c$。 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$（其中 $R$ 为外接圆半径）可得： $\sin A=\frac{a}{2R},\sin B=\frac{b}{2R},\sin C=\frac{c}{2R}$ 代入已知等式 $\sin A+\sin B=\sqrt{2}\sin C$ 中得： $\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}=\sqrt{2}\cdot \frac{c}{2R}⟹a+b=\sqrt{2}c$ 又已知 $△ABC$ 的周长为 $\sqrt{2}+1$，即： $a+b+c=\sqrt{2}+1$ 将 $a+b=\sqrt{2}c$ 代入上式中，得： $\sqrt{2}c+c=\sqrt{2}+1⟹(\sqrt{2}+1)c=\sqrt{2}+1$ 因为 $\sqrt{2}+1\ne 0$，两边同除以 $\sqrt{2}+1$ 得： $c=1$ 所以，边 $AB$ 的长为 $1$。

(2) 由(1)知 $c=1$，且 $a+b=\sqrt{2}$。 因为 $△ABC$ 的面积 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$，且已知 $S=\frac{1}{6}\sin C$，所以： $\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{6}\sin C$ 因为 $C$ 为三角形的内角，所以 $\sin C>0$，方程两边同除以 $\sin C$ 得： $\frac{1}{2}ab=\frac{1}{6}⟹ab=\frac{1}{3}$ 根据余弦定理，有： $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 利用完全平方公式变形得： $c^2=(a+b{)}^2-2ab-2ab\cos C$ 将 $c=1$， $a+b=\sqrt{2}$， $ab=\frac{1}{3}$ 代入上式中： $1^2=(\sqrt{2}{)}^2-2\times \frac{1}{3}-2\times \frac{1}{3}\cos C$ $1=2-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}\cos C$ $1=\frac{4}{3}-\frac{2}{3}\cos C⟹\frac{2}{3}\cos C=\frac{1}{3}$ 解得： $\cos C=\frac{1}{2}$ 因为 $C\in (0,\pi )$， 所以，角 $C$ 的度数为 $60^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{3}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理的“边角互化”功能，余弦定理的完全平方和公式变形技巧（$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab$），三角形面积基本公式。
2. 核心方法：整体代换法。在求得 $a+b$ 与 $ab$ 后，无需分别解出 $a$ 和 $b$ 的具体值，直接将这两个整体代入余弦定理变形结构中即可高效破题。
3. 避坑指南：

• 在第(2)问消去 $\sin C$ 时，需交代“因 $C$ 是三角形内角，所以 $\sin C\ne 0$”这一严谨步骤。
• 最后由余弦值求角度时需结合三角形内角范围排除多余象限解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考中标准的常规解三角形中档题，源自教材中正弦定理、余弦定理应用章节的课后重点综合例题。
2. 结论推广：在任意三角形中，若已知 $a+b=kc$ 且周长固定，则该三角形的底边 $c$ 恒为定值。此性质常常作为一种条件设计，与三角形的面积或内切圆、外接圆半径相结合进行衍生考查。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.03 解三角形与解的个数判定
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-12 单-数列单调性
• 2022-新高考II卷-12 多-不等式最值