2007-湖北卷理-01 单-二项展开式通项公式

本题导读

本题考查二项式定理的通项公式及其应用。通过写出二项展开式的通项，将“非零常数项”转化为关于项数 $r$ 和总项数 $n$ 的不定方程，利用 $r$ 为整数的限制条件求出正整数 $n$ 的最小值。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(理)） 如果 ${\left(3x^2-\frac{2}{x^3}\right)}^n$ 的展开式中含有非零常数项，则正整数 $n$ 的最小值为()

A. 3　　　　　　　B. 5　　　　　　　C. 6　　　　　　　D. 10

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出二项展开式的通项：根据 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$，代入 $a=3x^2,b=-2x^{-3}$。

2. 分离系数与 $x$ 的指数：将通项化简为系数与 $x$ 的单幂次乘积形态。

3. 建立指数方程：常数项要求 $x$ 的指数为 0，得到关于 $n,r$ 的线性齐次关系式。

4. 求解正整数 $n$ 的极小值：结合 $0\le r\le n$ 且 $r\in \mathbf{N}$， 确定 $n$ 的最小正整数解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：写出二项式 ${\left(3x^2-\frac{2}{x^3}\right)}^n$ 展开式的通项公式： $T_{r+1}={\text{C}}_n^r(3x^2{)}^{n-r}{\left(-\frac{2}{x^3}\right)}^r$ 将常数系数与自变量 $x$ 的指数分量进行离析与化简： $T_{r+1}={\text{C}}_n^r\cdot 3^{n-r}\cdot x^{2(n-r)}\cdot (-2{)}^r\cdot x^{-3r}$ $T_{r+1}={\text{C}}_n^r\cdot 3^{n-r}\cdot (-2{)}^r\cdot x^{2n-5r}$

若展开式中含有非零常数项，则必存在某个特定的项数 $r$ ($0\le r\le n,r\in \mathbf{N}$)， 使得自变量 $x$ 的指数严格为 0： $2n-5r=0⟹2n=5r⟹n=\frac{5}{2}r$

因为 $n$ 和 $r$ 必须同时为正整数，要使 $n=\frac{5}{2}r$ 取得最小的正整数， 只需令 $r$ 取得最小的正偶数，即当 $r=2$ 时： $n_{\text{min}}=\frac{5}{2}\times 2=5$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项展开式通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$、常数项对应的指数零特征（ $2n-5r=0$）。
2. 核心方法：通项指数离析法。
3. 避坑指南：

• 基础送分题，注意通项中 $x^2$ 和 $x^{-3}$ 的指数合并不要算错： $2(n-r)-3r=2n-5r$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于高中数学选修2-3第1章《计数原理》中二项式定理的经典基本应用题。

2. 结论推广: 对于 ${\left(A{x}^a+B{x}^b\right)}^n$ 展开式中含有常数项的充要条件是 $\frac{an}{a-b}$ 为整数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算