2007-湖北卷理-11 填-反函数求法性质

本题导读

本题考查一次函数反函数的求解。核心在于通过将原函数方程中的自变量 $x$ 孤立反解出来，进行 $x,y$ 对调后得到反函数的标准形式，进而通过系数对齐求出未知参数。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(理)） 已知函数 $y=2x-a$ 的反函数是 $y=bx+3$，则 $a=$ ________； $b=$ ________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 反解自变量 $x$：

• 由原函数 $y=2x-a⟹2x=y+a⟹x=\frac{1}{2}y+\frac{a}{2}$。

2. x-y对调重构反函数：将 $x,y$ 位置互换， 得到反函数解析式为 $y=\frac{1}{2}x+\frac{a}{2}$。

3. 对应系数比对求解：将其与已知反函数 $y=bx+3$ 进行比对，令 $b=\frac{1}{2}$， $\frac{a}{2}=3$ 即可。

✅【答案】

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$6$ ； $\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：已知原函数解析式为： $y=2x-a$ 移项孤立自变量 $x$： $2x=y+a⟹x=\frac{1}{2}y+\frac{a}{2}$

将上式中的自变量 $x$ 与因变量 $y$ 进行位置对调， 即可获得原函数的反函数解析式： $y=\frac{1}{2}x+\frac{a}{2}$

已知题干给出该反函数的解析式为 $y=bx+3$。 根据多项式恒等定理， 对应项的系数以及常数项必须完全相等， 建立方程组： $\{\begin{array}{l}b=\frac{1}{2}\\ \frac{a}{2}=3\end{array}$ 求解该方程组，直接得： $a=6,b=\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数“一解二换三确定”的标准化代数操作程序。
2. 核心方法：待定系数比较法。
3. 避坑指南：

• 极其基础的送分题，反解 $x$ 时分母不要漏除即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反函数的求法与性质是湖北卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是反函数的求法与性质的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用反解自变量法、系数对齐比较法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-04 填-反函数求解析式
• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-重庆卷文-12 填-反函数方程