2007-湖南卷文-10 单-二元子集比值新定义

本题导读

本题考查集合子集，以及新定义计数。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(文)）

设集合 $M=\{1,2,3,4,5,6\}$，$S_1$，$S_2$，$\cdots$，$S_k$ 都是 $M$ 的含两个元素的子集，且满足：对任意的 $S_i=\{a_i,b_i\}$，$S_j=\{a_j,b_j\}$（$i\ne j$，$i$，$j\in \{1,2,3,\cdots ,k\}$），都有 $\min \left\{\frac{a_i}{b_i},\frac{b_i}{a_i}\right\}\ne \min \left\{\frac{a_j}{b_j},\frac{b_j}{a_j}\right\}$（$\min \{x,y\}$ 表示两个数 $x$，$y$ 中的较小者），则 $k$ 的最大值是 ()

A. 10　　　　　　　B. 11　　　　　　　C. 12　　　　　　　D. 13

🔍【思路分析】

破题导航

1. 不妨 $a<b$，则 $\frac{a}{b}<\frac{b}{a}$，$\min =\frac{a}{b}$。

2. 枚举 15 个子集的值并约分。

3. 去重：$\frac{1}{2}$ 有 3 个来源、$\frac{1}{3}$ 与 $\frac{2}{3}$ 各 2 个，其余 8 个唯一。

4. 不同值个数 $=11$ 即 $k$ 的最大值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

不妨设子集 $\{a,b\}$ 中 $a<b$，则 $\frac{a}{b}<\frac{b}{a}$，故 $\min \left\{\frac{a}{b},\frac{b}{a}\right\}=\frac{a}{b}$．

$M=\{1,\cdots ,6\}$ 的二元子集共 ${\mathrm{C}}_6^2=15$ 个，对应的值（约分后）为：$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\frac{2}{3},\frac{2}{5},\frac{1}{3},\frac{3}{4},\frac{3}{5},\frac{1}{2},\frac{4}{5},\frac{2}{3},\frac{5}{6},\frac{1}{2}$．

其中 $\frac{1}{2}$ 出现 3 次（来自 $\{1,2\}$，$\{2,4\}$，$\{3,6\}$），$\frac{1}{3}$ 出现 2 次（$\{1,3\}$，$\{2,6\}$），$\frac{2}{3}$ 出现 2 次（$\{2,3\}$，$\{4,6\}$），其余 8 个值各出现 1 次．

故不同的值共 $15-(3-1)-(2-1)-(2-1)=11$ 个．

同一取值的子集至多选一个，故 $k⩽11$；对每种取值各取一个对应子集即达到 $k=11$，故 $k$ 的最大值为 $11$，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二元子集比值新定义

核心方法：不妨 $a<b$ 则 $\min =\frac{a}{b}$；枚举 15 个值约分去重得 11 个不同值

避坑指南：重复值有三组：$\frac{1}{2}$（3 次）、$\frac{1}{3}$、$\frac{2}{3}$（各 2 次）；$\min$ 只能取约分后的真分数，值相同即冲突

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二元子集比值互异的新定义计数，湖南卷创新题（同型见理 10）

结论推广：集合 $\{1,\cdots ,6\}$ 的比值真分数恰 11 个不同值

方法推广：新定义题先化简定义（取定序 $a<b$），再小规模枚举找重复规律

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练(Links)

• 2008-湖南卷理-10

• 2007-湖南卷理-10 单-分数大小比较去重计数

• 2005-湖南卷理-10 单-三角形的重心性质

• 2013-湖南卷文-15 填-特征数列