2007-湖南卷文-13 填-指数求值对数定义

本题导读

本题考查指数运算，以及对数运算。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(文)） 若 $a>0$，$$\begin{gathered} a^{ \\ frac23}= \\ dfrac49 \end{gathered}$$，则 $$\begin{gathered} lo{g}_{ \\ frac23}a= \end{gathered}$$　　　　.

🔍【思路分析】

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1. $$\begin{gathered} dfrac49= \\ left( \\ dfrac23 \\ right{)}^2 \end{gathered}$$，故 $$\begin{gathered} a^{ \\ frac23}= \\ left( \\ dfrac23 \\ right{)}^2 \end{gathered}$$。
2. 两边取 $frac32$ 次幂：$$\begin{gathered} a= \\ left( \\ dfrac23 \\ right{)}^3 \end{gathered}$$。
3. 由对数定义：$$\begin{gathered} lo{g}_{ \\ frac23}a=3 \end{gathered}$$。

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

由 $$\begin{gathered} a^{ \\ frac23}= \\ dfrac49= \\ left( \\ dfrac23 \\ right{)}^2 \end{gathered}$$，两边取 $dfrac32$ 次幂得 $$\begin{gathered} a= \\ left( \\ dfrac23 \\ right{)}^{2 \\ times \\ frac32}= \\ left( \\ dfrac23 \\ right{)}^3 \end{gathered}$$． 故 $$\begin{gathered} lo{g}_{ \\ frac23}a= \\ lo{g}_{ \\ frac23} \\ left( \\ dfrac23 \\ right{)}^3=3 \end{gathered}$$． 【注】部分答案资料将条件误印为 $$\begin{gathered} a^{ \\ frac34}= \\ dfrac49 \end{gathered}$$，如此则 $$\begin{gathered} lo{g}_{ \\ frac23}a= \\ dfrac \\ lo{g}_{ \\ frac23}(4/9)3/4= \\ dfrac83 \\ neq3 \end{gathered}$$，与官方答案矛盾；本卷按原卷 $$\begin{gathered} a^{ \\ frac23}= \\ dfrac49 \end{gathered}$$ 录入．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数求值对数定义

核心方法：$a^{\frac{2}{3}}={\left(\frac{2}{3}\right)}^2\Rightarrow a={\left(\frac{2}{3}\right)}^3\Rightarrow {\log }_{\frac{2}{3}}a=3$

避坑指南：两边取 $\frac{3}{2}$ 次幂时指数运算 ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{2\times \frac{3}{2}}={\left(\frac{2}{3}\right)}^3$；底数小于 1 别丢负号讨论（本题幂值恒正）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数幂与对数定义互化，指对数运算小题

结论推广：${\log }_{\frac{2}{3}}a=3⟺a={\left(\frac{2}{3}\right)}^3$

方法推广：指对互化口诀：对数式改指数式验算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2012-湖南卷文-07 单-指对不等式比较
• 2008-湖南卷文-06 单-对数值比较大小
• 2010-湖南卷理-05
• 2015-湖南卷文-14 填-零点参数