2007-湖南卷理-17 解-离散型随机变量分布列数学期望

本题导读

本题考查独立重复试验、二项分布及期望的计算。第一问通过引入对立事件“两项培训均未参加”，结合独立性求出单人参加过培训的概率；第二问将三人抽样抽象为 $n=3$ 的二项分布模型， 依次计算分布列各顶点的概率， 进而利用二项分布期望公式直接得出结果。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(理)） 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力. 每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有 60%，参加过计算机培训的有 75%. 假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.

(1) 任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

(2) 任选 3 名下岗人员，记 $\xi$ 为 3 人中参加过培训的人数，求 $\xi$ 的分布列和期望.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：独立事件与对立事件转化：

• 设事件 $A$ 为“参加过财会培训”， $B$ 为“参加过计算机培训”。由题意 $P(A)=0.6,P(B)=0.75$。
• 一个人“参加过培训”的对立事件是“两项培训均未参加”（即既没参加财会也没参加计算机）。
• 没参加财会概率 $P(\bar{A})=1-0.6=0.4$，没参加计算机概率 $P(\bar{B})=1-0.75=0.25$。
• 由于对两项培训的选择是相互独立的，则两项均未参加的概率 $P_0=P(\bar{A})\cdot P(\bar{B})=0.4\times 0.25=0.1$。
• 故参加过培训的概率 $p=1-P_0=0.9$。

2. 第二问：二项分布模型建立：

• 任选 3 名下岗人员，每人参加过培训的概率互为独立且恒为 $p=0.9$。

• 随机变量 $\xi$ 服从二项分布 $\xi \sim \text{B}(3,0.9)$。

• $\xi$ 的可能取值为 0, 1, 2, 3。利用公式 $P(\xi =k)={\text{C}}_3^k{p}^k(1-p{)}^{3-k}$ 算出各概率列出分布表。

• 期望直接套用二项分布期望公式 $E(\xi )=np$。

✅【答案】

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因此𝑃(𝜉=𝑘) = C𝑘3(0

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）设事件 $A$ 为“该下岗人员参加过财会培训”， 事件 $B$ 为“该下岗人员参加过计算机培训”。 由题意， 两个事件相互独立， 且各自的概率为： $P(A)=60\%=0.6,P(B)=75\%=0.75$

由此可知， 该人员未参加财会培训的概率为 $P(\bar{A})=1-0.6=0.4$； 未参加计算机培训的概率为 $P(\bar{B})=1-0.75=0.25$。 任选 1 名下岗人员，“该人参加过培训” 的对立事件是 “该人两项培训均未参加”。 因为对两个项目的选择相互独立， 故两项均未参加的概率为： $P(\bar{A}\cdot \bar{B})=P(\bar{A})\cdot P(\bar{B})=0.4\times 0.25=0.1$

根据对立事件概率性质， 该人参加过培训的概率为： $p=1-P(\bar{A}\cdot \bar{B})=1-0.1=0.9$

（2）由于各人对培训的选择相互之间没有任何影响， 属于独立重复试验。 由（1）可知， 每名人员参加过培训的概率均为 $p=0.9$， 未参加过培训的概率为 $q=1-0.9=0.1$。 记 $\xi$ 为 3 人中参加过培训的人数， 则随机变量 $\xi$ 服从参数为 $n=3$ 且 $p=0.9$ 的二项分布， 即 $\xi \sim \text{B}(3,0.9)$。

$\xi$ 的所有可能取值为： $0,1,2,3$。 根据二项分布概率计算公式 $P(\xi =k)={\text{C}}_3^k\times 0.9^k\times 0.1^{3-k}$， 依次计算各取值的概率：

• $P(\xi =0)={\text{C}}_3^0\times 0.9^0\times 0.1^3=1\times 1\times 0.001=0.001$；
• $P(\xi =1)={\text{C}}_3^1\times 0.9^1\times 0.1^2=3\times 0.9\times 0.01=0.027$；
• $P(\xi =2)={\text{C}}_3^2\times 0.9^2\times 0.1^1=3\times 0.81\times 0.1=0.243$；
• $P(\xi =3)={\text{C}}_3^3\times 0.9^3\times 0.1^0=1\times 0.729\times 1=0.729$。

由此写出随机变量 $\xi$ 的概率分布列为：

\hline \xi & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & 0.001 & 0.027 & 0.243 & 0.729 \\ \hline \end{array}$$ 因为 $\xi$ 服从二项分布， 运用二项分布的数学期望期望公式： $$E(\xi) = n \cdot p = 3 \times 0.9 = 2.7$$ *(说明：亦可通过期望数理定义式计算： $E(\xi) = 0 \times 0.001 + 1 \times 0.027 + 2 \times 0.243 + 3 \times 0.729 = 0 + 0.027 + 0.486 + 2.187 = 2.7$)*。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立事件对立面概率乘法法则、二项分布表达式模型（ $X\sim \text{B}(n,p)$）、二项分布期望捷径公式 $E(X)=np$。
2. 核心方法：正难则反对立事件法、二项分布建模法。
3. 避坑指南：

• 第一问如果采用正向直接分类（参加财会没参加计算机 + 参加计算机没参加财会 + 两项都参加）去求解， 代数步骤繁杂容易发生漏项。牢记“正难则反”的铁律， 优先算两项皆空的概率再用 1 减， 即可实现速解。
• 概率大题最终算完分布列后， 务必在草稿纸上把四个概率值相加核验一下是否严格等于1（ $0.001+0.027+0.243+0.729=1.000$）， 以排除中间算术乘法笔误带来的低级丢分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查相互独立事件的概率乘法公式、互补事件的概率性质，是湖南卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（对立事件转化法、二项分布模型代入法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：相互独立事件的概率乘法公式、互补事件的概率性质相互关联，解答中综合运用了对立事件转化法、二项分布模型代入法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 23.04 二项分布与超几何分布
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2008-四川卷文-18 解-独立事件与二项分布
• 2008-天津卷理-18 解-分布列
• 2008-山东卷理-18 解-二项分布