2007-福建卷文-03 单-两角和与差求值

本题导读

本题考查两角和与差的正弦公式，以及同角三角函数关系。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(文)） $\sin 15^{\circ }\cos 75^{\circ }+\cos 15^{\circ }\sin 105^{\circ }$ 等于 ()

A. $0$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

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1. $\sin 105^{\circ }=\sin \left(90^{\circ }+15^{\circ }\right)=\cos 15^{\circ }$。
2. $\cos 75^{\circ }=\sin 15^{\circ }$，原式化为平方和。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$\sin 105^{\circ }=\sin \left(90^{\circ }+15^{\circ }\right)=\cos 15^{\circ }$，$\cos 75^{\circ }=\cos \left(90^{\circ }-15^{\circ }\right)=\sin 15^{\circ }$． 原式 $=\sin 15^{\circ }\cdot \sin 15^{\circ }+\cos 15^{\circ }\cdot \cos 15^{\circ }={\sin }^{2}15^{\circ }+{\cos }^{2}15^{\circ }=1$，故选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两角和与差求值

核心方法：诱导公式把 $\sin 105^{\circ }$ 化 $\cos 15^{\circ }$、$\cos 75^{\circ }$ 化 $\sin 15^{\circ }$，凑平方和

避坑指南：看到非特殊角先想诱导公式与和差角互化；$\sin (90^{\circ }+\alpha )=\cos \alpha$ 别误写成 $-\cos \alpha$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：诱导公式 + 同角平方关系的组合求值，教材例题风格

结论推广：一般地 $\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =\sin (\alpha +\beta )$，先标准化再求值

方法推广：非特殊角求值三板斧：诱导公式化同名、和差角化角、平方关系收尾

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练(Links)

• 2008-江西卷文-17 解-两角和正切与最值
• 2010-湖南卷文-16 解-三角恒等变换最值
• 2011-北京卷文-15 解-三角恒等变换最值
• 2007-江苏卷-11 填-和差化积求正切积