2007-福建卷理-11 单-导数复合函数运算法则

本题导读

本题考查函数的奇偶性与其导函数奇偶性之间的对立转化规律。通过对奇偶性解析式两边同时求导，确定导函数的奇偶特征，从而推导负半轴的导数符号。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(理)） 已知对任意实数 $x$，有 $f(-x)=-f(x)$，$g(-x)=g(x)$，且 $x>0$ 时，$f^{\prime }(x)>0,g^{\prime }(x)>0$，则 $x<0$ 时()

A. $f^{\prime }(x)>0,g^{\prime }(x)>0$　　　　　B. $f^{\prime }(x)>0,g^{\prime }(x)<0$

C. $f^{\prime }(x)<0,g^{\prime }(x)>0$　　　　　D. $f^{\prime }(x)<0,g^{\prime }(x)<0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本性质推导（理论法）：

• 奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。
• 由 $f(x)$ 是奇函数 $⟹f^{\prime }(x)$ 是偶函数 $⟹f^{\prime }(-x)=f^{\prime }(x)$。当 $x<0$ 时， $-x>0$， 故 $f^{\prime }(x)=f^{\prime }(-x)>0$。
• 由 $g(x)$ 是偶函数 $⟹g^{\prime }(x)$ 是奇函数 $⟹g^{\prime }(-x)=-g^{\prime }(x)$。当 $x<0$ 时， $-x>0$， 故 $g^{\prime }(x)=-g^{\prime }(-x)<0$。

2. 特殊函数构造法（秒杀法）：

• 构造满足条件且易求导的函数： 令奇函数 $f(x)=x$，当 $x>0$ 时 $f^{\prime }(x)=1>0$。在 $x<0$ 时， $f^{\prime }(x)=1>0$。 令偶函数 $g(x)=x^2$，当 $x>0$ 时 $g^{\prime }(x)=2x>0$。在 $x<0$ 时， $g^{\prime }(x)=2x<0$。

• 直接比对选项确定。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：本题采用特殊函数构造法进行极速破局：

依据题意：

• $f(-x)=-f(x)$ 说明 $f(x)$ 为奇函数，且 $x>0$ 时导数恒正；
• $g(-x)=g(x)$ 说明 $g(x)$ 为偶函数，且 $x>0$ 时导数恒正。

我们构造两个完全符合上述特征的简单基准函数：

1. 设 $f(x)=x$（标准单调递增奇函数）： 对任意 $x\in \mathbf{R}$，其导函数为： $f^{\prime }(x)=1$ 显然满足当 $x>0$ 时 $f^{\prime }(x)=1>0$。 当 $x<0$ 时， 依然恒有： $f^{\prime }(x)=1>0$

2. 设 $g(x)=x^2$（标准轴对称偶函数）： 其导函数为： $g^{\prime }(x)=2x$ 显然满足当 $x>0$ 时 $g^{\prime }(x)=2x>0$。 当 $x<0$ 时， 代入负数自变量直接求得符号： $g^{\prime }(x)=2x<0$

综合两部分构造函数的符号结果，当 $x<0$ 时，满足 $f^{\prime }(x)>0$ 且 $g^{\prime }(x)<0$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇（偶）函数求导后的奇偶性反转律（ ${\text{奇}}^{\prime }=\text{偶}$， ${\text{偶}}^{\prime }=\text{奇}$）。
2. 核心方法：特殊函数构造法、复合函数求导法则。
3. 避坑指南：

• 若用代数求导法证明，注意复合求导的负号：对 $g(-x)=g(x)$ 两边求导得 $-g^{\prime }(-x)=g^{\prime }(x)⟹g^{\prime }(-x)=-g^{\prime }(x)$（奇函数特征）。由于容易在复合函数求导的链式法则中漏掉内层 $(-x{)}^{\prime }=-1$ 的负号， 因此选择题强烈推荐用具体幂函数代入法，绝不出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的奇偶性与导数的关系、导数的复合函数运算法则是福建卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是函数的奇偶性与导数的关系、导数的复合函数运算法则的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用导数奇偶性变换律、具体函数代入法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2025-新高考I卷-05 单-函数性质
• 2008-大纲卷II文-04 单-奇函数图象对称
• 2008-大纲卷I理-09 单-不等式