2007-辽宁卷理-01 单-集合交集运算

本题导读

本题考查集合的基本交、并、补集代数运算。可先求出两集合的补集再作交集，或利用德·摩根定律转化为并集的补集。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(理)） 设集合 $U=\{1,2,3,4,5\}$, $A=\{1,3\}$, $B=\{2,3,4\}$，则 $({\complement }_{U}A)\cap ({\complement }_{U}B)=$ ()

A. $\{1\}$　　　　　B. $\{5\}$　　　　　C. $\{2,4\}$　　　　　D. $\{1,2,4,5\}$

🔍【思路分析】

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1. 常规法：先分别求出 $A$ 在全集 $U$ 中的补集 ${\complement }_{U}A$ 和 $B$ 在全集 $U$ 中的补集 ${\complement }_{U}B$，再找两补集的公共元素。

2. 公式法：利用德·摩根定律， $({\complement }_{U}A)\cap ({\complement }_{U}B)={\complement }_U(A\cup B)$。先求 $A\cup B$，再求其补集。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：法一（逐步运算法）： 因为全集 $U=\{1,2,3,4,5\}$， $A=\{1,3\}$， 所以 $A$ 的补集为除去 $A$ 中元素后剩余的集合： ${\complement }_{U}A=\{2,4,5\}$ 同理，因为 $B=\{2,3,4\}$， 所以 $B$ 的补集为除去 $B$ 中元素后剩余的集合： ${\complement }_{U}B=\{1,5\}$

求两补集的交集，即提取它们相同的公共元素： $({\complement }_{U}A)\cap ({\complement }_{U}B)=\{2,4,5\}\cap \{1,5\}=\{5\}$

法二（德·摩根定律法）： 根据集合运算法则， $({\complement }_{U}A)\cap ({\complement }_{U}B)={\complement }_U(A\cup B)$。 先计算两集合的并集： $A\cup B=\{1,3\}\cup \{2,3,4\}=\{1,2,3,4\}$ 再求并集在全集 $U$ 中的补集： ${\complement }_U(A\cup B)=\{1,2,3,4,5\}\setminus \{1,2,3,4\}=\{5\}$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：有限集合的交集和补集运算法则。
2. 避坑指南：

• 注意不要把交集符号（ $\cap$）看成并集符号（ $\cup$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合的补集运算、集合的交集运算是辽宁卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是集合的补集运算、集合的交集运算的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用集合元素穷举法、德·摩根定律法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2008-北京卷理-01 单-集合
• 2008-四川卷理-01 单-集合
• 2010-大纲卷I文-02 单-集合交补运算