本题导读
本题考查数学期望与导数最值在经济利润应用题中的综合应用。第一问根据“利润 = 产量 价格 - 成本”建立三种市场情形下的利润函数模型；第二问利用离散型随机变量期望的定义加权求和，得到总期望利润关于产量 的一元三次函数；第三问利用导数工具寻找该三次函数的极大值点，从而确定最优产量。
📌【题干】
Question
（2007年辽宁卷(理)） 某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本 与产量 的函数关系式为 . 该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情形，各种情形发生的概率及产品价格 与产量 的函数关系如下表所示：
市场情形 概率 价格 与产量 的函数关系式 好 0.4 中 0.4 差 0.2 设 分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量 表示当产量为 且市场前景无法确定时的利润.
(1) 分别求利润 与产量 的函数关系式；
(2) 当产量 确定时，求期望 ；
(3) 试问产量 取何值时， 取得最大值.
🔍【思路分析】
破题导航
- 第一问（建立利润模型）：
- 经济学基本公式： 。
- 分别将三种情形下的价格 表达式乘上产量 ，再减去统一的成本函数 ，去括号并合并同类项。
- 第二问（计算数学期望）：
- 随机变量 的可能取值为 ，其对应的发生概率分别为 。
- 依据离散型随机变量数学期望定义式： ，代入因式整体化简。
- 第三问（一元三次函数求最值）：
将期望函数 整理为关于 的标准多项式。
对 进行一阶求导，求出导函数的零点。
结合 约束分析导函数的符号，判定单调性并锁定全域最大值点。
✅【答案】
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因此当0 < 𝑞< 10 时，𝐸(𝜉𝑞) 单调递增；当𝑞> 10 时，𝐸(𝜉𝑞) 单调递减
✍【详细解析】
Abstract
解：（1）总成本函数为 。根据利润公式 ，分别代入三种情形下的价格解析式：
- 市场情形“好”时：
- 市场情形“中”时：
- 市场情形“差”时：
（2）当产量 确定时，随机变量 的分布列由题表概率给出。根据数学期望的定义，加权求和得： 将（1）中求得的三个利润函数代入上式中： 利用分配律合并同类项（ ）：
（3）要求期望函数 的最大值， 设 。 对该一元三次多项式函数进行一阶求导： 令 。 因为产量 ， 解得唯一驻点为：
分析导函数 在定义域 上的符号分布与单调性特征：
- 当 时， ， 函数 严格单调递增；
- 当 时， ， 函数 严格单调递减。
由于函数在区间 内单调递增， 在 内单调递减， 所以， 当 时， 函数 取得全域唯一的绝对极大值， 该极大值亦即为全域最大值。
答：当产量 时， 期望利润 取得最大值。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：经济问题函数建模、离散型随机变量期望方程的线性合并、利用导数判定三次多项式函数的最值。
- 避坑指南：
- 第二问在计算多项式合并时，不要急于把各项分数化开计算。观察到三个利润解析式中最高次项均为 ， 常数项均为 ， 利用概率之和 整体提取因式， 可以大幅度缩减运算量， 避免产生小数笔误。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题考查利润函数模型（收益减成本）、离散型随机变量的数学期望，是辽宁卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
- 变式思考：本题的核心步骤（建模代数化简法、期望公式展开法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
- 知识关联：利润函数模型（收益减成本）、离散型随机变量的数学期望相互关联，解答中综合运用了建模代数化简法、期望公式展开法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。
🔗【关联脉络】
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