2007-重庆卷文-08 单-圆心角与弦心距定参

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系，以及弦心距与圆心角。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(文)） 若直线 $y=kx+1$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 相交于 $P$，$Q$ 两点，且 $\angle POQ=120^{\circ }$（其中 $O$ 为原点），则 $k$ 的值为 ()

A. $-\sqrt{3}$ 或 $\sqrt{3}$　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　C. $-\sqrt{3}$ 或 $\sqrt{2}$　　　　　D. $\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 圆半径 $r=1$，圆心 $O(0,0)$ 到直线 $kx-y+1=0$ 的距离 $d=\frac{|1|}{\sqrt{k^2+1}}$。
2. 等腰三角形 $POQ$ 中 $\angle POQ=120^{\circ }$，弦心距 $d=r\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$。
3. $\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{1}{2}$，得 $k^2=3$，$k=\pm \sqrt{3}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

圆 $x^2+y^2=1$ 的半径 $r=1$，圆心为原点 $O$． 由 $\angle POQ=120^{\circ }$ 且 $OP=OQ=1$，取 $PQ$ 中点 $M$，则 $OM\perp PQ$，且 $OM=r\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$，即圆心到直线的距离 $d=\frac{1}{2}$． 又 $d=\frac{|k\cdot 0-0+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}$，故 $\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{1}{2}$，解得 $k^2=3$，$k=\pm \sqrt{3}$． 故选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆心角与弦心距定参

核心方法：$d=r\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$，$d=\frac{|1|}{\sqrt{k^2+1}}$，$k=\pm \sqrt{3}$

避坑指南：圆心角 $120^{\circ }$ 对应弦心距 $r\cos 60^{\circ }$（半角）；直线的分母是 $\sqrt{k^2+(-1{)}^2}$，别漏 $y$ 的系数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆相交的弦心距模型，与 2014 重庆文第 14 题、2015 重庆理第 8 题同型

结论推广：圆心角、弦长、弦心距构成直角三角形：$d^2+{\left(\frac{\text{弦}}{2}\right)}^2=r^2$

方法推广：凡遇弦与圆心角（或弦长），先作弦心距；点线距公式分母是 $\sqrt{a^2+b^2}$，系数别错

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练(Links)

• 2014-重庆卷文-14 填-直线与圆
• 2015-重庆卷理-8
• 2013-重庆卷文-04 单-圆最短距离