2007-重庆卷文-10 单-反函数对称点求参

本题导读

本题考查反函数与原函数图象的对称性，以及二次函数求值。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(文)） 设 $P(3,1)$ 为二次函数 $f(x)=a{x}^2-2ax+b$（$x⩾1$）的图象与其反函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图象的一个交点，则 ()

A. $a=\frac{1}{2}$，$b=\frac{5}{2}$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $a=\frac{1}{2}$，$b=-\frac{5}{2}$

C. $a=-\frac{1}{2}$，$b=\frac{5}{2}$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $a=-\frac{1}{2}$，$b=-\frac{5}{2}$

🔍【思路分析】

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1. $P(3,1)$ 在 $y=f(x)$ 图象上：$f(3)=9a-6a+b=3a+b=1$。
2. $P(3,1)$ 在 $y=f^{-1}(x)$ 图象上，等价于 $(1,3)$ 在 $y=f(x)$ 图象上：$f(1)=a-2a+b=-a+b=3$。
3. 联立 $3a+b=1$，$-a+b=3$：相减 $4a=-2$，$a=-\frac{1}{2}$，$b=3+a=\frac{5}{2}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

互为反函数的两个图象关于直线 $y=x$ 对称，且点 $(u,v)$ 在 $y=f^{-1}(x)$ 的图象上当且仅当 $(v,u)$ 在 $y=f(x)$ 的图象上． 由 $P(3,1)$ 在 $y=f(x)$ 图象上：$f(3)=9a-6a+b=3a+b=1$． 由 $P(3,1)$ 在 $y=f^{-1}(x)$ 图象上，等价于 $Q(1,3)$ 在 $y=f(x)$ 图象上：$f(1)=a-2a+b=-a+b=3$． 联立 $\{\begin{array}{l}3a+b=1\\ -a+b=3\end{array}$，两式相减得 $4a=-2$，$a=-\frac{1}{2}$；代回得 $b=3+a=\frac{5}{2}$． 故 $a=-\frac{1}{2}$，$b=\frac{5}{2}$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数对称点求参

核心方法：$P(3,1)$ 在 $f^{-1}$ 上 $⟺(1,3)$ 在 $f$ 上；$f(3)=1$，$f(1)=3$

避坑指南：反函数与原函数图象关于 $y=x$ 对称，点 $(u,v)$ 对应 $(v,u)$；两方程联立前先确认 $f$ 的自变量限制不影响代入

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反函数与原函数图象的对称性，与 2012 重庆理第 10 题、2011 重庆理第 10 题同源

结论推广：$(u,v)$ 在 $f^{-1}$ 图象上 $⟺(v,u)$ 在 $f$ 图象上；交点同时满足两方程

方法推广：涉及反函数交点时转化为原函数上的两点，避免直接解反函数解析式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练(Links)

• 2012-重庆卷理-10
• 2011-重庆卷理-10
• 2015-重庆卷理-8