2007-重庆卷文-16 填-根式与指数复合函数最值

本题导读

本题考查函数的定义域，以及指数函数与根式的最值。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(文)） 函数 $f(x)=\sqrt{x^2-2x}+2^{\sqrt{x^2-5x+4}}$ 的最小值为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 定义域：$x^2-2x⩾0$ 且 $x^2-5x+4⩾0$，解得 $x⩽0$ 或 $x⩾4$。
2. $x⩾4$：$x^2-2x$ 在 $x=4$ 取最小 $8$，故 $\sqrt{x^2-2x}⩾2\sqrt{2}$；$\sqrt{x^2-5x+4}⩾0$，故 $2^{\sqrt{x^2-5x+4}}⩾1$；两项在 $x=4$ 同时取等，$f(4)=2\sqrt{2}+1$。
3. $x⩽0$：$x^2-5x+4⩾4$，故 $2^{\sqrt{x^2-5x+4}}⩾2^2=4$，此时 $f(x)⩾4>2\sqrt{2}+1$。
4. 综上，最小值为 $1+2\sqrt{2}$。

✅【答案】

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$1+2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

定义域：$\{\begin{array}{l}{x}^2-2x⩾0\\ x^2-5x+4⩾0\end{array}$，即 $\{\begin{array}{l}x⩽0\text{ 或 }x⩾2\\ x⩽1\text{ 或 }x⩾4\end{array}$，故 $x⩽0$ 或 $x⩾4$． 当 $x⩾4$ 时：$g(x)=x^2-2x$ 的图象在对称轴 $x=1$ 右侧递增，故在 $x=4$ 处取最小值 $g(4)=8$，$\sqrt{x^2-2x}⩾\sqrt{8}=2\sqrt{2}$；又 $\sqrt{x^2-5x+4}⩾0$，故 $2^{\sqrt{x^2-5x+4}}⩾2^0=1$．两项分别在 $x=4$ 与 $\sqrt{x^2-5x+4}=0$（即 $x=4$）时取等，故此时 $f(x)⩾2\sqrt{2}+1$，且 $f(4)=2\sqrt{2}+1$． 当 $x⩽0$ 时：$x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$ 在 $x⩽0$ 上随 $x$ 减小而增大，$x=0$ 处取最小值 $4$，故 $\sqrt{x^2-5x+4}⩾2$，$2^{\sqrt{x^2-5x+4}}⩾4$，此时 $f(x)⩾4>2\sqrt{2}+1$． 综上，$f(x)$ 的最小值为 $1+2\sqrt{2}$（在 $x=4$ 处取得）．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：根式与指数复合函数最值

核心方法：定义域 $x⩽0$ 或 $x⩾4$；$x⩾4$ 时两项分别 $⩾2\sqrt{2}$ 与 $⩾1$，$x=4$ 同取等

避坑指南：两根式同时非负的交集才是定义域；$x⩽0$ 时指数项 $⩾4$，与 $1+2\sqrt{2}\approx 3.83$ 比较后取后者

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：根式与指数复合函数最值，与 2015/2011/2009 重庆理第 16 题同位次的压轴填空一脉相承

结论推广：定义域由两个被开方式共同决定；分段讨论后比较各段下界

方法推广：复合结构先写定义域，再逐段求最值；指数函数单调性把根式最值转化为指数下界

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2015-重庆卷理-16 填-绝对值不等式
• 2011-重庆卷理-16
• 2009-重庆卷理-16